CHAPITRE IV
FORMULES ASYNPTOTIQUES.
§ 1. Évaluation de Llp,
47. J'ai établi, dans la première partie de mon Mémoire sur la théorie des nombres premiers (Annales de la Société scientifique DE Bruxelles, t. XX), n<> 52, la formule
Dans cette formule, les sommes du premier membre sont étendues à toutes les puissances des nombres premiers qui sont inférieures à y.
En d'autres termes, on a posé, en abrégé,
P^<yV p<9 r p<9i V
On peut aussi remplacer dans le second membre -|^ par sa valeur connue
Ko ^
48. Multiplions (1) par dy et intégrons de 1 à « ; il viendra
i*(:iw -I- i)
Mais on a par (Ij
De cette équation soustrayons la précédente; il vient
" du
Ço
4m\2/MH-l)
Co
49. Uemplaçons dans celte équation x par (1 -h t) x, où fc est une constante positive quelconque, et soustrayons membre à membre; nous trouvons, en divisant par k.
Ko
(I H- kf—ixe (1 -t- k)''^— I X
<-sm
50. La somme qui est sous le signe d'intégration au premier membre étant constante ou croissante, on a
<«+*^rix
jl^n ^<il 72'/^<i 2//^/ 7
c'est-à-dire
lu ■*- k)
<'+*''rfa;„, /(<-»-fc)
p«"<ii+*)if
La première de ces inégalités donne par (2)
[\+kf—\ xf ^ (1 H-/;)-'"— 1 «-'"
im*
Changeons dans (2) et (3) x en ^^^ nous aurons de même, par la deuxième inégalité (3),
2di ~t "T irf fr
,-lm
Ces inégalités (4) et (8) peuvent aussi s'écrire a fortiori
pm<.
xP
Arx
Co ^ /(I ^ *)
tM
51. On est ainsi conduit à prendre, pour valeur approchée du premier membre, la demi-somme des seconds. L'erreur commise A sera inférieure à leur demi-différence.
Posons en abrégé
on trouvera
(i-*.^^«— (iH-A:)-«
xP
— Sm M<-tM
2/(1 -4- A:) Am'
et Ton aura
(9) mod A <
xP
2/(1-*-fc) 2(1 ^ /|:)-*-!«(i ^ A;)-*- X
62. Observons que Ton a toujours 2-i-(l -♦-A:f-i-(l -^A:) «X 2-h(l -4- A:)-*-(l H-A;)-* < 4-*-
on voit que nous aurons a fortiori, en négligeant une somme négative,
PV <(1
On a posé, en abrégé,
27TF'°"'''
de sorte que Ton aura
mod A <
(i + k)t{i -t- ft)
Ensuite, comme on a, par la formule (7),
il vient
modA<^UlH-.«)^l^/.,-T-*-«'
ihG-
mod A<-A;H---t-4'^-it
Donnons à ft la valeur
il viendra
(H) .... mod A < 2x
2 Jl
L'évaluation de A est donc ramenée par cette formule à celle de la somme <r2 qui a été étudiée au paragraphe 4 du chapitre précédent et à celle de w que nous allons réduire aussi à celle
de (T.
