En vertu de Finégalîté

TTT

on a

xP

Opérons comme au n"" 53 ; faisons la substitution

remplaçons (^k on aura

Ai 1 Zi ^ ^''

fc') : 2 (1 -H fc)f(l -♦- fc) par sa valeur 1 h- m; ;

Considérons maintenant la quantité w qui est donnée par la formule (7) ; elle est positive et Ton a, par (7),

k^ Ta

donc

et, k étant égal à 2(r,

(53) La dernière somme

2/(4 -♦• k) ïm*"

tend avec une grande rapidité vers zéro qaand x augmente. En effet, elle est inférieure à

i i ^ 1 /f -4- kV^ k 1 f\ -I- k V »•

Mais on a i = 2(T et, en remplaçant a par sa valeur, on en tire

par la formule (11) de la première partie du Mémoire. La somme en question sera donc encore inférieure à

et l'on aura, en définitive,

2/(1 -^ fc) 4m« ^ ^H/;

En substituant ces différentes valeurs 11, 14 et 16 dans 13, on trouve

mod e < ti? -•- (1 H- u?) 2ff -♦- (T* -I -i

< U7 -♦- (1 -I- u;)(2ff -♦- (T*) -♦- 0* -f-

puis, par (15), il vient a fortiori

(17) mod f<2(x-t--ff'-4-(r'-4--a*-*-

L'évaluation de e se ramène donc enfin à celle de la somme Jpg «

L ^Tfli = 0"' que nous avons faite au chapitre précédent.

55. En rapprochant la formule (17) de l'énoncé du théorème du n<> 46 du chapitre précédent et en observant que y est remplacé ici par x, on obtient le théorème suivant :

5t l'on pose

la quantité i\ tendra vers zéro quand x tendra vers l'infini, et cette quantité sera un infiniment petit d'un ordre de petitesse au au moins égal à celui de l'expression

of/p« 0,03282...