Si l'on remarque que l'on a

|iM<y pm<y« p<y P<yi P<yt p<if

on reconnaîtra immédiatement que la différence entre ïip et lilp est de l'ordre de l/y. On peut donc énoncer cet

autre théorème analogue au précédent :

Le rapport

OÙ la somme s'étend aux logarithmes des nombres premiers < x, est de la forme

oti 7^4 est infiniment petit avec - et d'un ordre de petitesse au moins égal d celui de

\/plxe'^^'^ où l'on a encore p =s 0,03282...

Ce théorème entraine aussi le suivant :

57. On peut assigner un nombre fixe H, indépendant e/e x, et tel qu'il y ait toujours au moins un nombre premier compris entre

X et X -♦- H[/pïxe'^^x.

Les calculs qui précèdent permettraient facilement de trouver une valeur de ce nombre H, mais, comme elle serait assez grande, son calcul ne présenterait pas grand intérêt.

§ 2. Évaluation (ie S -^ •

^pm

58. Remplaçons dans la formule (1) du paragraphe précédent S/p par sa valeur tirée de la formule (12) et changeons y en X ; il viendra

L'évaluation de e se fait par la formule (17) du paragraphe précédent. Il reste donc à évaluer

tMp-1)' Cette somme est inférieure en valeur absolue à

xcc-î

Les termes de cette dernière somme sont inférieurs à ttô;» sauf si a > |, et, dans ce cas, p étant > 28, ils sont inférieurs

(-•-^')\/"*-(iÎ7

(56) 11 vient donc

mod y^ < \ ,00064 er».

Nous sommes donc ramenés encore une fois aux évaluations du § 4 du chapitre III.

On déduit de là et du théorème du n"" 46 le théorème suivant :