CHAPITRE V

NOMBRE DES iNOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS A UNE LIMITE DONNÉE.

62. Pour simplifier récriture, nous désignerons par F (x) la fonction qui exprime combien il y a de nombres premiers < x et nous définirons une autre fonction /'(^) par Téquation

63. Nous allons utiliser une formule que j'ai démontrée dans mes Recherches sur la théorie des nombres premiers au n^ 28 de la première partie, et que voici :

On a, dans cette relation,

et Ton peut, si l'on veut, substituer cette valeur dans l'équation.

Le variable u est quelconque, réelle ou imaginaire.

Multiplions l'équation par du et intégrons de u à oo ; il viendra

ii, m p"- x*/x ,1^^

x"/x Ço Ix

IX J Vl— M Ç«/

r^y pIp — w) ";?*/ 2m{2m -f- w)

Posons us=» dans cette équation et supposons que l'intégration se fasse le long de l'axe réel. Les fonctions sous le signe resteront finies et continues dans chaque intégrale et l'on aura

' l^A, ^ tx Ko Ix J VI -u Çtt /

64. Nous allons maintenant transformer ces différentes inté^ grales. En introduisant des termes qui se détruisent, on peut écrire Téquation suivante, dans laquelle les fonctions restent continues sous les signes d'intégration :

I U/m = Uni / -H /

/»*-« /•* du /»*+«x*-— 1

-♦- lim / ♦- / -♦- / du.

8=0,/ ,/ u — 1 ,/ \ — Il

Le terme écrit en dernière ligne est nul ; celui qui est écrit sur la ligne précédente a pour valeur

- [iog {u-\)Ul - [log ?;«]«= loiç (- Ço) = — /2,

car la relation (voir mon Mémoire déjà cité n^' 4)

donne, pour «==1,

cos

ao)== Iim =

Il vient donc

•/ \1— -M ÇW/ t=rO ./ ^ i — tl

Mais, en faisant le changement de variables

// K — ti = —»

( 60 ) on trouve

i— u ™y Ti J 1— tt ^J Ti

Par suite,

Lt(x) = lim / H- / -- •

Passons aux intégrales suivantes de la formule (4). On a, par décomposition puis intégration par parties,

' = / x^~"ai* H- /

ac/' xP 1 /"* xf-'

W \ "^ ~ 'jH '*"^ '*"ix J (p — tt)'

4 r'*x'' Hu

De même

Substituons les valeurs (5), (6) et (7) dans (4); il vient

Cette équation est celle qui paraît donner l'expression la plus commode de la fonction f{x),

65« Si l'on remplace dans (8) le premier crochet par sa valeur déduite de la formule (IS) du chapitre précédent, il vient

flx) = Li(x) — m

La valeur de e est donnée par la formule (13), et la formule (17) du chapitre précédent en donne une limite supérieure propre au calcul. Comme e tend vers zéro avec -, la la formule précédente montre déjà que \à[x) est la valeur principale de F [x).

Il reste encore à évaluer les deux autres sommes qui figurent dans la formule (9). On a, par intégration par parties,

/* xP-*du xP 2 /'* xP-^dn ip — u)« ~ ^ "*" ïij ip — u,^'

ensuite

* xP'*du /'*a;*-"r/u x*

mod - . . ^ .

il vient donc

Enfin, on a

En se servant de œs relations (10) et (11) et de la formule (17) du chapitre précédent qui donne une limite supérieure de 8, on voit que l'on peut poser

(12) /"(x) =- Lt(a:) — /2 -^ T ~ •

où l'on a

L'évaluation de t est donc encore une fois ramenée à celle de la somme

.flC-l

qui a fait Fobjet du § 4 du chapitre 3.

66. Reportons-nous à la formule (6) de ce même paragraphe; comme le premier terme de la valeur de t dans (13) donne aussi la valeur principale de t, on a le théorème suivant :

Si l'on pose

f[x) = Lï(x) — /2 -♦- T^»

la quantité t sera infiniment petite avec - , et elle sera d'un ordre de petitesse au moins égal à celui de l'expression

S/pïye"^^'' OM p = 0,03282.