Observons maintenant que la relation

( 63 ) donne

on aura les inégalités

f{x)>F(x)>flx)^fly/^),

et, comme f^^) est < l/x, on voit que le théorème précédent s'applique aussi à la fonction F (a:), qui exprime combien il y a de nombres premiers inférieurs à x.

Nous énoncerons ce théorème comme il suit :

Si l'on désigne par F (x) la fonction qui exprime combien il y a de nombres premiers < x, F (x) aura pour valeur asymptotique Li (x) quand x tendra vers l'infini. De plus, la différence entre ces deux fonctions ne pourra pas être d'un ordre de grandeur supérieur à celui de la fonction

oîi p = 0,03282.

Ce théorème est celui auquel nous avons fait allusion dans l'introduction en insistant sur son importance.