SUR LA CONVERGENCE DE LA SÉRIE L

68. Définissons, avec M. Mertens (*), la fonction numérique (ji (fc) d'un paramètre entier k de la manière suivante : jx(fc) = l pour ft = l,

=» si /r a un facteur carré autre que 1, =» 1 si i est formé d un nombre impair et = -t- 1 si i est formé d'un nombre pair de facteurs premiers différents.

(*) Ueber einige asymtotische Gesetze der Zahlentheorie,iovKSkL F. d. r. U. A. Math. B. 77, 1874, p. 289.

D'après cette définition, on a, s étant une variable réelle ou imaginaire dont la partie réelle est supérieure à Tunité,

Si la série, qui est au premier membre, converge pour s = i^ il résulte de cette relation que sa valeur sera 0, mais le point délicat est de prouver la convergence.

69. Eul^ paraît être le premier qui ait considéré cette série, et il a affirmé le résultat auquel nous venons de faire allusion, mais sans l'établir rigoureusement (*).

Quoique de nombreux mathématiciens, Mertens, Stieltjes, Gram, etc., se soient occupés de cette fonction, la démonstration du théorème énoncé par Euler n'a été établie que dans ces tout derniers temps par M. von Mangoldt (**).

La démonstration de M. von Mangoldt est assez détournée et d'ailleurs elle se borne strictement à établir la convergence de la série, sans fournir aucune approximation de la rapidité de la convergence. Nous pensons donc qu'il y a quelque intérêt à revenir sur cette question, d'abord pour présenter une démonstration plus directe et plus simple, ensuite pour donner une limite supérieure du reste de cette série, ce qui n'a pas encore été fait jusqu'à présent.