La dérivée logarithmique de ^ (s) vérifie la relation

OÙ les racines p doivent être rangées par ordre de modules croissants.

On en tire, en remplaçant y^ par sa valeur obtenue par la différentiation du produit infini (1),

(3) y^— -— llogT + Diog.r(--*-0-T-^-

^^ fs — p s — i 2 ^ ^ ^ \2 ; ^p' — 4

Cette formule va jouer un rôle important dans notre étude. Nous allons d'abord en déduire une conséquence utile.

5. Cas particvUers de la formule (3). J'ai démontré dans mon Mémoire sur la fonction Ç (5), au n^ 54, que l'on a

lim I 1

«I \ks s

(*) Zu Riernann's Abhandlung : Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse. (JouRii. fur die reine und angew. Mathbmatik, Bd. 114.)

où C désigne la constante d'Euler. L'équation (2) donne donc, pour 5= i,

> = lofi; T H h C.

On a d'ailleurs, par une formule bien connue de Gauss,

H-C=/ rfx = 2/ -=2M— /2),

de sorle que l'équation précédente donnera, eu égard à la propriété (2°) des racines p (n® 3),

Comme on a

on en déduit

Les racines p = a + ^i sont conjuguées deux à deux, de sorte que les parties imaginaires se détruisent dans les sommes

( 10 ) précédentes. Par conséquent, la formule (4) peut s'écrire aussi

La formule (4) entraîne aussi comme conséquence, qui peut être utile,

§ 2. Sur une expression approchée de Dlog r(a). 6. Schaar a établi, pour a réel et positif, la formule (*)

log V{a) = (a 1 log a — a -f- logl/âr

On obtient, en différentiant.

^ = log a ----*-- / — 5^ log 1 — e''")dx,

puis, par le changement de la variable x en ax.

Ha)

^ = loga— -*-- / 7-r-7Tî'«gO -e-'-yx.

a) 2a Tra^/ (x* h- 1)

Cette formule vient d'être établie pour a réel et >0; mais comme ses deux membres représentent des fonctions synec-

(*) Meter, Bestimmte Intégrale, § 52. (Leipzig, 1871), et Limbourg, Théorie de la fonction F. (Mémoire Acad. de Belgique, t. XII.)

tiques de la variable imaginaire a pourvu que la partie réelle de a soit > 0, Téquation (7) subsiste aussi sous cette seule condition.

Soit donc

où u et { sont des variables réelles, la première positive ; nous allons chercher une limite supérieure de l'intégrale de l'équation (7).

On a, pour x < 0,

mod log(i — e-»^") < — log (i — e"^' «'); par conséquent,

— 5 5 log (i -- ^'"")dx < / log (i — e«'^")rfar.

Par la substitution e*^"==;s, cette dernière intégrale devient

2tm\ 2* 3» /

12ii

Désignons donc par une quantité de module inférieur à l'unité; pour a =» u -^ fi et u > 0, l'équation (7) pourra se mettre sous la forme

Via) . 1 ô (8) — ^ = log a H

7. Cette équation va nous servir à trouver une expression approchée de la partie réelle du premier membre. Convenons de désigner la partie réelle d'une quantité com-

plexe en faisant précéder celle-ci de la caractéristique <0\. On a, pour a == tt -*- (i,

Si Ton suppose u^ < t^^ on aura, en désignant par 6| une quantité > Oet < 1,

<!Rloga=log|«|^^-- On a ensuite, eu égard à la signification de 9,

6 ___ ^ ^ ej

2a 2(11* -+- (*) Donc l'équation (8) donnera, pour fi > w2,

§ 3. Évaluation de S -^ï-ttô;*

8. Considérons de nouveau des sommes étendues à toutes les racines imaginaires p = a -♦- pi de ^(s). On a identiquement

\-illl-=\llLl y (4— g)(2a~-1)

(13) Donc, en ajoutant membre à membre avec

il vient gy i"« v ^ y (1-«)(2«~i)

2(^ «,. ^ ,5» ^ «^ ^ là» "*■ ^(,* ^ f»j(rz^« ^ p^{

D'ailleurs la dernière somme ne devant pas changer par la permutation de a en 1 — a, est aussi égale à

et Ton trouve, par conséquent,

2 1 ^vi « ^^ (2a — 1/

D'ailleurs, puisque ^ est toujours > 12 en valeur absolue et (2a — 1)'^ < 1, cette dernière somme est inférieure

et l'équation (10] donne

en vertu de l'équation (8).

(14) § 4. Evaluation de S

(tt-P) (i-p)

9. Nous désignons dans ce qui suit par u une quantité réelle et positive > 1.

On a, p étant égal à a + ^t,

(42) ' (" - ^)(^ - p) "" ^ [(« - «)• -*- P'][^ - «)• -^ PT

Dans cette dernière somme, on a identiquement

et par conséquent, en substituant cette valeur,

■*" "^ 2 [(^ „), ^ p.-|(-^, ^ p,j [(^ ^j. ^ ^,j- Si 2 a est < m, on a, au dernier numérateur,

>(U — a)(2a — tt)(M — 2a H- 1) > — u\u -♦- \).

Si 2 a > M et a < M, on a

0<(u -a).(2ix — u)[4— (2a — w)]<(w — a)i < -.

On peut donc poser, pour tt> 1, puisque ps > 444^

21 [(t. - a)' H- I5«][(i ^ «r -*- P*] "" ^ (a« ^ ^«kT:=^^ -^ ?•]

031 ( -f-rj

Au second membre de Téquation (13) ci-dessus, la première somme ne doit pas changer, si Ton remplace a par 1 — a. On peut donc y remplacer les numérateurs par

-[(u— a)(M— 2a+ i)+ (11— 1 -^ a)(wH-2a— 1 )]== ~ i-.

Faisons cette substitution dans (13), puis portons la valeur trouvée dans (12) et changeons a en 1 — a ; il vient

iy (2a -i)'

Remplaçons encore S ^ ^ par sa valeur (10), nous trouverons l'expression définitive

10. Dans le second membre de la formule (14), le premier terme est connu, sa valeur 0,0461914... est donnée par l'équation (8). La seconde somme est très petite et sa valeur pourrait se calculer avec une très grande approximation en posant u = 1 dans la formule (14), mais nous pouvons nous dispenser de faire ce calcul. La formule (14) représente donc, avec une grande approximation, vu la petitesse de t, la manière dont varie son premier membre quand t/ > 1 varie dans le voisinage de l'unité. C'est à ce point de vue que nous allons l'utiliser. Si l'on remarque que, dans la formule (14), on a par (11)

y i <r JL \ ^ ^ 0,046192

^(a« H- fi')(r^' H- p') ï? ^ «* ^ p* u4-i '

cette formule pourra aussi s'écrire

- \u^ 1- tI-

§ 5. Évaluation approchée de

11. Nous allons encore indiquer la manière de faire ce cal cul quand u est réel > 1 et voisin de l'unité. On a, par la formule de Gauss,

a) X'ti^^i

nCsas/ dx,

a) J i — OF

réquation

r.(!) rg..)

/*a:* — x' /"a;—* — i ^; dx=% I -; --xV»

;Sl(2«-4-i)*

On a d'ailleurs (*)

^ (2ij H- !)• \

v J /. LWi

-^(2w -4- i)« \ :i5C/^ «* ^(2n -h1)»"" V ""ÏÏTâ/^ #?""

(<-fe)2i-

En substituant ces valeurs dans la

brmule précédente, on

obtient la formule propre au calcul que nous voulions établir.

§ 6. Évaluation approchée de —•

12. Nous avons besoin d'évaluer approximativement — pour u réel et voisin de l'unité par excès. Ce calcul est devenu facile, moyennant les résultats qui précèdent*

Changeons s en u, puis ^ en 1 dans l'équation (2) et sous-

(♦) Les sommes 2n"« — 5j, In'* = s^ ,... ont été calculées par Legendre. (Voir Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, t. III, seconde édition, p* 149.)

trayons membre à membre les deux équations ainsi obtenues , nous trouverons

in

Donc, par la formule (15) et par celle du paragraphe précédent, il viendra

'— -♦-—?— —0,57721 5665 — 0,1 8750 913 (tt — l)

Cm u — I

-♦-0,05179 979(u— 1/— 0,0U67 803(ti - i)*

(16) ( H-0,00452 376(M-i)*-U,OOi44 708{t/ — I)»

.*-0,00005i35(ii— 1)»—

en posant, pour abréger, comme au n* 10,

Nous allons faire deux applications de cette formule.

13. Première application. Posons d'abord u — !•— i; l'équation (16) donnera, en changeant les signes,

On trouve une limite inférieure du second membre en bornant la série, qui a ses termes alternativement positifs et négatifs, aux termes écrits ci-dessus, dont le dernier est négatif, et en négligeant le terme complémentaire —, qui est positif.

On obtient ainsi