Nous avons vu que la transformation

(4) ^iz:çp(X), / =

conservait le degré de l'équation différentielle et le nombre de branches de l'intégrale.

Si l'on suppose que ^ = o,y=i,j/' = oo sont des intégrales des équations différentielles, moyennant la transformation (4), on voit que, dans le cas de ^ = 4? l'intégrale générale (i), étant de la forme

donne lieu à l'équation différentielle

Pour le cas de ^ = 3, la quantité a étant nulle, l'intégrale est de la forme

l'équation différentielle correspondante se réduit alors à

Si l'on part des formes (5) et (6) des équations différentielles, on obtiendra toutes les équations différentielles dont l'intégrale générale a deux branches, en effectuant dans (5) et (6) sur x et y, la transformation (4), où ç(X), a(X), 6(X), c(X) sont des fonctions arbitraires de X.

5. Remarque, — On pourra se reporter au Mémoire (*) déjà cité de M. Painlevé, qui contient des types d'équations un peu différents de ceux que nous avons introduits. Mais la méthode que nous avons employée permet d'obtenir des types identiques, comme nous allons le montrer rapidement.

(*) Annales de l'École Normale; 189a.

6. Équations de degré quatre. — Pour que l'équation difTérentielle, dont

représente l'intégrale, soit de la forme

,__ q»y* -^ giy * -4- «t^r' + aty -h aq

il faut et il suffit que l'on ait

fXiXo — X,jULo = o, Xi — f*iXj=:o, avec Xo—XjfXo?^o>

d'où

y/ ^î^* ■+■ (K F-o + ^0 - ^î f^o )r' -*- ^0 f^ - ^0 Ko

7. Equations de degré trois. — Pour que q soit égal à trois, il faut et il suffit que pour C = C< , >^ = o soit solution remarquable, d'où

i — — > ou bien encore que pour C = C2, y = 00 soit solution remarquable, d'où

Aj ^:^^ L<2«

On obtiendra alors les deux formes

... Ky^ -^[K Mo -^ Fo (Cl — ^»)]r

^ 2fJlo(C,-X,)

.^ (^o--CîFo)y'+^of^o— ^of^o ^

qui se déduisent, d'ailleurs, l'une de l'autre par le changement de^ en — •

Dans chacune de ces deux formes, la constante arbitraire introduite figure d'une façon artificielle, la première de ces deux formes pouvant s'écrire

^a«-coy»+Fo^a2-co-fx;(x,-c,)

— 2[Xo(X,— Cl)

si l'on pose

Xj— Ci=: A,

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 23 il vient

et l'on retombe bien ainsi sur un type très simple obtenu par M. Painlevé.