III. — Equations a trois branches
8. Equations de degré six. — L'intégrale générale étant de la forme
l'équation différentielle correspondante (i) la plus générale est de degré six
Nous disposons des coefficients de la transformation homographique, de façon que trois des racines du dénominateur, qui après les réductions est du quatrième degré, soient o, i et oo, d'où les conditions
(9) Xt — /^iXs = o, Hi^ — X,^o = o»
(lO) 2X, -|-3Xo-+-^lf^J-i-î*^o|^j = <>•
Le dénominateur D devient alors
D=^(X,-fx.X.)r(y-0(y-^)
et l'on a pour l'équation diflférentielle
•^ A(y,a;) où A et B ont les développements suivants :
[Xj(x;fxî -+- x; ) 4- XoX|(x;fXo — ^»f^o ) — ^oX; ^xoX, -+- x,x; [XoX,] v* [^'(XifXo + x; — x,fz; -+- fx,x; — x,^; ) -+- Xofjt,x,(x;|Xo — Xjjul;) — XofXoXaCf^iX; — x,/x; ) -h ftoXiX;Xjfxj]7» [-fx;xj-^XoVo(i^'î>.-Hp,x;)4-x;>,(x;---X3p;)4-x;(X'ofXo--Xop;)]7' [2XoX,(X'o — fji;Xa)]y-hXî(x;fXo— Xof^;),
A = 2X,Xo(Xo-fXoX,)y(j^-i)(y-^)'
les fonctions X, \k étant liées par les relations (9) et (10).
9. Équations de degré cinq. — Écrivons qu^une des racines de D, par exemple y = oo, est inlégrale de (7), d'où
Xj := const.,
et comme X3 ne figure que dans la combinaison [JL0X3, on peut supposer Xj = o, d'où ).2 = o, et l'équation différentielle correspondante est de la forme
où B el A ont pour expressions
B = x» >.;/ + xj (x; + fx,x'. - x, ^; ) y*
[— f*; x; + x; f*. x; + xj ( x; fxo — Xo fx', )] /'
aXjX, (X', fio — ^oFo )y ■+■ ^l (ihK — f*'o ^o).
K='xW\y{y-i)[y-^y
^0) Xi7 [^2 ^^ i^o étant liés par la relation
2)^1 -f-3Xo 4- Xi|JL, H- 2X0^.1=: o.
10. Équations de degré quatre. — Deux cas peuvent se présenter, car l'abaissement du degré de l'équation (8) provient de la présence de deux solutions remarquables doubles, ou d'une solution remarquable triple.
Premier cas : Il existe deux solutions remarquables doubles, — Soient y = 0,^ = 00, d'où
A3 = Cj, — = C©; on peut supposer
C3 = o, Co = oo, d'où y^z=:Oj |Xi = o,
et, par suite,
y — 7 —îc-^r >
avec
•îX, -h 3>.o -H^iPjH- 2XofXî = 0.
Deuxième cas ; Il y a une solution remarquable triple. — Soit y =00, d'où
Xj=Xl = îl = 0. (*1=0> 2fJlt+3 = 0,
.., - >'o.y' + f x; y' + F» Xq — F« X'o
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 25
il. Equations de degré trois. — Nous devons distinguer deux cas, suivant qu'il y a trois solutions remarquables doubles, ou une solution triple et une solution double.
Premier cas : Il y a trois solutions doubles, — Soient o, i, oo. Nous n'avons qu*à écrire que, pour Téquation (9), ^ = 1 est en outre une solution remarquable correspondant à la valeur C = i de la constante, d'où les conditions
X,= X,= /jit = fXo = o, I -h jUL, =:Xi -4-^05 ^1 -r- 2Xp-hi = 0, et l'équation différentielle prend la forme
(aXo^i) p--^^y;^-^') ^7]^
dont l'iiitégrale générale e.s.t (II) C
__ (aX<» H- 1)7—^0 .(Xo + a)/-r*
Deuxième cas : Il y a une solution triple et une solution double. — Soient ^ =00 solution triple et j^ = o solution double, d'où
i,=:X, = X, =:fji, =0, 2fz, -+-3 = 0, fXo = 0,
(12) y^Ky{-y + \),
^'^^ •^- 3(jK-i)
12. Ren^arque /. — Si l'on exprimait qu'il y a un abaissement plus considérable, on obtiendrait une équation de Riccati,
On peut vérifier sur les formes correspondantes de l'intégrale générale que l'on se trouve bien en présence d'une équation à points critiques fixes ^
Pour l'équation (10), par exemple, si l'on exprimait qu'il y a abaissement d'une unité dans le degré, c'est-à-dire que
(Jio Jia)(2Vjl^
est une solution remarquable double^ correspondant à une valeur C = C| de la constante, on obtiendrait une équation de Riccati, et, d'autre part, l'intégrale générale se réduisant à la forme
«jj* •+■ Piy* -+- yi/ H- di = o,
où ttf, ^4, Yi, 8| sont des constantes numériques, l'équation différentielle correspondante aurait bien ses points critiques fixes.
De même, si l'on exprime qae y= i est solution double pour Téquation (la), il vient
>; = o, d'où y = o,
et Fintégrale générale, se réduisant à
27' — 37 -h «1 = o, où ai est une constante numérique, a bien encore ses points critiques fixes.
Remarque II. — Si Ton avait exprimé tout d'abord que^ = \-l-l est solution
remarquable, on aurait rencontré des formes d'équations difTérenlielles, identiques à celles trouvées par M. Painlevé (* ) à l'aide de sa première méthode.
13. Signalons enfin les types intéressants d'équations différentielles, obtenus en écrivant que l'équation différentielle admet ^= o, j^= i, y = ao comme solutions ordinaires pour les valeurs G = o, C= 1, G = 00 de la constante. Gccî est toujours possible puisque l'équation différentielle dépend au moins des quatre fonctions arbitraires <p(^), ci{^), b{^)f c(^) ^e la transformation
et que toutes les formes de l'intégrale générale (7) se déduisent de l'une d'entre elles par le changement de G en -^ — ^«
L'équation de degré six s'obtient en partant de
avec
X, -t- X, -+- 1 =1 fx, -h /UL, 4- fxo ;
d'où
où A et B sont deux polynômes de degrés trois et quatre.
Ecrivons que y = 00 est solution remarquable, d'où l'équation de degré cinq
P __ 7' + Xay«4-Xi7 __ Y{y — i ) A
^- fx,/ + ^o ' ^"- B '
A et B étant du troisième degré; et l'on formera de même les équations de degrés (») Annales de V École NormalCy 1892, loc. cit.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 27
quatre et trois .
avec
X, -f- I = fil -+- fZo,
et
