I. - ÉQ

UATIONS A DEUX BRAKCRES.

1. Équations de degré quatre. — L'intégrale générale des équations différentielles de cette espèce se met sous la forme

^î.r*-+- ^i.v-f-Xo

et intègre l'équation de degré q = 4?

OÙ les coefficients des diverses puissances de j^ s'expriment rationnellement kV aide des cinq fonctions arbitraires X2, \, Xo, [X|, [jlo et de leurs dérivées premières.

2. Équations de degré trois. — Pour former les équations de degré trois dont l'intégrale générale acquiert deux valeurs autour des points critiques mobiles,

(') Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, loc. cit.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. I9

on pourrait exprimer, par exemple, que le numérateur et le dénominateur de y^ dans la relation (2) ont un facteur commun y — K, d'où une relation algébrique

(3) H(X„ x„ Xo, fx, jjLo, v„ x;, >;, fx',, h'o)= o,

qu'il est facile de former, où H est un polynôme entier par rapport aux fonctions \^ [JL et leurs dérivées premières; en sorte qu'en supprimant le facteur commun^ — K [K est une fonction rationnelle des X, [jl, X', fx' liés parla l'elation (3)], on obtiendrait une équation différentielle, de degré trois en j^, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des X, [jl, X', [x' liés par la relation différentielle {^).

L'équation

ainsi obtenue dépend bien de quatre fonctions indépendantes, puisque les coefficients des diverses puissances de^ sont exprimés de la façon indiquée plus haut; mais comme la relation H = o contient les dérivées premières X', [x', . . . , on ne peut dire que l'on a exprimé explicitement les coefficients à Taide de quatre fonctions indépendantes, puisque, pour exprimer une des cinq fonctions X, |x en fonction des quatre autres, il faudrait savoir intégrer la relation H = o.

Ainsi donc, pour que la question que nous nous sommes posée fût résolue, il faudrait pouvoir déduire, de la relation H = o, une relation algébrique H^ = o ne contenant plus les dérivées des fonctions X, [x.

Or, la méthode employée dans ce travail, ayant précisément pour objet de substituer à la relation H = o, qui contient les dérivées premières des X, [x, une relation

H|(Xo,Xi,X,, fXo, fx,, Ci)=:o,

contenant algébriquement les fonctions X, [x et une constante arbitraire C|, cette relation H| = o doit être considérée comme intégrant la relation H = o. Il suffit d'écrire que les deux équations

P X,y«-^X,j + Xo

(X| — fx,X,)7«-t-2(Xo— X,fXo)^-^fx,Xo— X,fXo=o ont une racine commune en y, d'où la relation

[(C,-X,)(fx,X,-fXoX,)-(C,fXo-Xo)(X,-fXi^î)?

— [2(C,--X,)(Xo--|XoX,)— (X,---fX,X,)(fXlC,--X,)][(/X,Ci---Xi)(|XiXo--X,[Xj^)--2(fXoC-Xo)(Xo--/Xo>^o)]=0.

Quand cette relation est satisfaite, on peut supprimer au numérateur et au

dénominateur de (2) le facteur commun

et Ton obtient Téquation différentielie demandée.

Du reste, on peut supposer ^^ = o; cela revient à remplacer

Aq, Al, Aj, (Xq, fXi respectivement par

et la relation H| = o se réduit alors à

relation qu^on aurait pu d^ailleurs écrire immédiatement; le facteur commun se réduit alors à 2y A- [jL|, et après l'avoir supprimé il reste

•^ 2(^1 — Fi^« )>'-+- 4X-f^iXi

3. En écrivant que l'équation différentielle s'abaisse au degré deux (auquel cas c'est une équation de Riccati), c'est-à-dire que

est une solution remarquable, on obtient une relation entre X2, X| , Xo, [Xo soit sous forme différentielle, en écrivant que le numérateur de (3) s'annule poury = yi, soit sous forme algébrique en écrivant que, pour C = G2, on a

(27i-+-fAi)* et, par suite, l'intégrale générale se met sous la forme

^ At— 4Cîf^i .

— ^^AiTiA^ v^xr=r4c; = C',

où l'on a posé

et sur cette forme on vérifie bien que l'équation différentielle est à points critiques fixes. C'est le cas exceptionnel gr = 2.

•FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 31

II. — Emploi de la transformation homographique suivie du changement

DE variable indépendante.