IV. — Équations a quatrb branches
14. Dans tout ce qui suit, nous supposerons qu'on a disposé des coefficients de la transformation homographique, de façon que y=o, j^ = i,^ = oo soient des solutions ordinaires de Téquation différentielle. Il suffira alors, dans tous les
types que nous obtiendrons, de remplacer y par -^- — ^ pour former toutes les
équations différentielles de Fespèce indiquée. Elles contiendront, par conséquent, rationnellement les fonctions arbitraires a, p, 8 et leurs dérivées premières.
Le degré de ces équations varie entre huit et trois* Je vais passer très rapidement sur les équations de degrés huit, sept, six et cinq dont la formation est analogue à celles des équations du paragraphe précédent, et j'insisterai plus longuement sur les équations du quatrième et du troisième degrés.
I. Équations de degué huit. — L'intégrale générale est de la forme
d'où
IL Équations ns nsoRÉ sept» — Écrivons que ^ = 00 est solution remarquable double pour C = 00, d'où
III . Équations de degré six. — Deux cas peuvent se présenter :
Premier CAS : Il y a deux solutions remarquables doubles. — Soient y = oc, y •= o pour C = 00, G = o,
(3) c^7!0^±^LrHtM (n-Xi-hXo = fjtt + f*i + fj^o),
Deuxième cas : Il y a une solution remarquable triple. — Soit j^ = oo pour
IV. Équations de degré cinq. — Trois cas peuvent se présenter :
Premier cas : Il y a trois solutions remarquables doubles. — Soient y = o, y=i^y = co pour G = o, G = i, G = oo,
L'équation différentielle correspondante est
M - N/' = o, où Ton a
N = D'y*-h(AD'~DA'4-aB'-h3A'-aD')y*
4-[BD' - DB' -4- 2(AB' - BA') — a(AD' - DA') - 6A' - B' -h D ] j» [AD' - DA' — 2(BD' - DB') — 4( AB' - BA')]y' [2(AB' - BA') -t- BD'- DB' + 3B']/
= y(y — i)«[D'y« -+- (3 A'+ 2B' H- AD' — DA')y
-f^ 2 (AB' - BA') -h BD'- DB' -h 3B']
M = 2 D/* -t- (9 A H- 6B — 6D -h AD H- 1 2)y»
-h(6A*-+-4AB — 4AD— 4B-h4D — 12)/«
+ (— 6A*+3AD — 9A-h2B»— 2BD4-4B)/-+-2B(— 2A-B-hD-3)
= (y — i)[2D7»-i- (9A-+- 6B — 4D -h AD 4- i2)j«
-f- (9A 4- 2B — 3 AD 4- 6 A» -h 4 AB)y -h 2B (2 A -h B — D -h 3)], d'où
, , r(y- [D>'4- (3 A' 4- 2B' 4- AD'- DA')y + 2( AB'- BA') 4- BD' -> PB' 4- 3B'1
^^^ -^ ~ 2D/»4-(9A4-6B — 4D4-AD-hi2)7*4-(9A4-2B— 3AD4-6A*4-4AB)7 4-2n(2A-hB — 1)4-3)
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 2C)
Deuxième cks : Il y a une solution remarquable triple et une solution double. — Soient 7 =: oo et ^ = o,
.^y r. r(r~')[DVH-(AD-DA^-hA^-HB07+AB^-BA^4-BD^~DB -t-B J
•^ "" (4j*4-3Aj'4-^B)(DjK-l-A-hB-D+ i)-D(7»-i-A7«-hB)
Troisième cas ; Il y a une solution remarquable quadruple. — Soit y = oc pour C = 00,
(7) C = A/*H-Bj.» + D/«-h(r-A-B-D)7,
. w ,./ r(^~r)[AV+(A^+B^)y4-A^+B^-^Dn
^^\ "^ ~ 4A7»4-3By«-H2D/H-i--A— B — D
V. Equations de degré quatre. — Dans tous les exemples formés jusqu^à présent, le nombre de valeurs remarquables de la constante n'étant jamais supérieur à trois, on pouvait faire en sorte qu'aucune constante arbitraire ne figurât dans l'équation différentielle définitive. En effet, toutes les formes de Tinté-
a C -4- 3 grale, se déduisant de l'une d'entre elles par le changement de C en -^ ^
(ai, ^1, Yi désignant des constantes numériques), on peut donner à trois dos valeurs remarquables de la constante les valeurs o, i et oo.
Nous allons rencontrer maintenant des équations où une ou deux constantes arbitraires distinctes figureront algébriquement d'une façon essentielle.
Nous supposerons toujours qu'on a effectué sur^ une transformation homographique, telle que o, i, oo soient des intégrales correspondant aux valeurs o, i, 00 de la constante d'intégration.
Premier cas : Il y a une solution quadruple (soity = oo) et une solution double (soit ^ = o) ; d'où
(8) c = Aj*H-B/»-h(i-A~B)^',
/ftv ,./^ y(f-r)(A-y + A--f-B-)
^^ -^ ""4A7«-+-3By-+-2(i — A-B)*
Deuxième cas \ Il y a deux solutions triples. — Soient j^ == oo et j^ = o,
(^y y^ .r<y-0[B^y-HAB^ -BA- + A-]
3B/« 4- [4(A - B 4- 1) -+- 2AB]/ -h 3A(i — A - B) Troisième cas : Il y a une solution triple et deux solutions doubles, —
3o A. CAHEN.
Soient j' = 00, y = o, ^ = I , on obtient les formes suivantes :
^ ^ (3A-i-2B4-4)y-(2A-HBH-3)'
, /(j-i)[(3A^-l-2B0j-4-3B^ + 2(AB^-BA0]
(lo) y — 3(3A-h2B4-4)7*4-(6A»-4-9A-t-4ABH-îiB)jK-4-2B(aA4-B-i-3)'
Quatrième cas : Il y a quatre solutions doubles. — Soient y = o^ ^ = i, y = co les trois premières solutions doubles, correspondant aux valeurs C == o, C = I , C = 00 de la constante, Tintégrale générale est de la forme (5).
Pour exprimer qu^il existe une solution remarquable double, pour la valeur C = Y de la constante, il faut écrire que les deux équations
l 4^»-l-3A^«-t-2(B-:Dy)/ — y(3A-H2B — aD-t-4)=o,
( A7» + 2(B--Dy)/« — 3y(3A4-2B — 2D-h4)/-+-4(2A4-B — D-h3)y = o,
ou, ce qui revient au même, que les deux équations qui s^en déduisent
[3 A» + 8(Dy — B)]j^« 4- [2 A(B - Dy) -f- i2y(3A -h 2B — 2D -t-4)]^
— yA( 3 A -h 2B — 2D -+■ 4) — 16{2 A -h B — D 4- 3) = o,
[i6(2 A 4- B — D -h 3) H- Ay (3A -h 2B — 2D 4- 4)]/' -f-[i2A(2A4-B -DH-3)-+-2y(3A-+-2B — 2D-h4)(B — Dy)]/
