B— Dy)(2A4-B — D4-3) — 3y*(3A4-2B-2D4-4)' = o

et que j'écris

( Vy* H-V^ +W =o, (•3) 1

aient une racine commune, d'où une relation algébrique

(i3) (UW.-WU0'-4(UV,-VU0(VWi-WV,) = H(A,B,D,y) = o,

qui permet d'exprimer D, par exemple, en fonction algébrique de A, B et de la

constante arbitraire y

L'intégrale remarquable a pour expression

,. /■,^ UV,-VU. P(A,B,D,y)

ri^«;- U^W-UW, - Q(A,B,D,y)'

où P et Q sont deux polynômes en A, B, D et y, et Â, B, D, y étant liés par la relation algébrique H =: o.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 3l

ATN/

Moyennant ces conditions, le numérateur et le dénominateur de l'équation (5) s'annulent pour y =^j (^) et réquation diflerentielle se réduit à

^^' •* ~ 2DP(A,B,D,y)Q(A,B,D,y)/»-l-[9A+6B— 4D+AD-i-i2+2DP(A,B,D,y)]P(A,B,D,y)7— aB(2A+l{-I)4-3)

avec

Remarque /. — Si Ton exprimail directement que le numérateur et le dénominateui^de l'expression (5)' ont un facteur commun différent de ^ et dey — i, c'est-à-dire que les deux équations

D'7«-^(3A'-^2B'-f-AD'-DA')7-+-2(AB'~-BA')-t-BD'-DB +3B'=o,

2Dy»-h (9A H- 6B — 41) H- AD -M2)j^* -h. . . + 2B(2 A -^ B — D -^ 3) =o

ont une racine commune, on obtiendrait

relation différentielle algébrique enite les coefficients A, B, D, dont la relation H = o donne l'intégrale, en exprimant D, par exemple, en fonction algébrique de A, de B et de la constante arbitraire y.

Remarque II. — On peut pousser plus loin les calculs et exprimer les coefficients de l'équation différentielle (i4) en fonction rationnelle de deux fonctions arbitraires convenablement choisies, de leurs dérivées premières et de la constante arbitraire y* La relation

exprime, en effet, que les deux équations (12) ont une racine commune ï. Prenons cette racine commune T comme fonction arbitraire, nous pouvons alors exprimer A et B en fonction rationnelle de D, T et y en résolvant les équations (i i) par rapport à A et B.

On obtient alors A et B sous la forme de deux fractions avant pour dénominateur commun

3(T'-y)(T'-3yT+a)-(T-y)(T»-9yT),

et pour numérateurs, la première

2Dy[(T-i)(T'— 3yT + a)-(T-y)(T-i)(T-3)]

-4(T'-y)(T'-3yT + 3)-i2(T-i)(T-y),

la seconde

Dy[-(T-i)(T»-9yT) + 3(ï-i)(T-a)(T'-y)]

-t-2(T'-y)(T«-9yT)+36y(T-i)(T»-y),

et réquation difTérentielle correspondante devient, après la suppression du facteur y — T qui figure au numérateur et au dénominateur de (5)',

, y{y - 1) [TD^y + a(BA^ - ABQ -^DB^— BD^~ 3B^]

^ ^ 2DTy*+ï(2DT-h9A-+-6B— 4D-hAD-Ma)j^ — 'jB(2A4-B — D-f-3)'

où A et B doivent être remplacés par les fonctions ratiomaelles rfe D, T et ^ trouvées précédemment; et A', W par leurs dérivées.

VI. Équations de degré trois. — li y a cinq cas à distinguer : Premier cas : // existe deux solutions triples et une solution double, — Soient r = o, j^ = QO,y = i,

Delxième cas : Il existe une solution quadruple et deux solutions doubles. — Soienty = oo, y = o, ^ = i ,

C =7«f Aj*- 2(A 4- i)j H- A -h 3], A'y(/-i) .

Troisième cas : // existe une solution quadruple et une solution triple, —

Soient ^ = 00, ^ = o,

Quatrième cas : Il existe une solution triple et trois solutions doubles, — Soient j^ = 00 la solution triple, j^ = o, j^ = i deux des solutions doubles. Nous partons de la forme d'intégrale générale (10)

P__ 7»(.r«-4-Ay-i-B)

Exprimons qu'il existe une nouvelle solution remarquable double pour la valeur G = Y de la constante. Cela reviendra, comme dans le § V, à exprimer que deux équations du second degré

U7* -hV^ 4-W zno, U,/*+V,j4"W,=:0

onl iino racine commune, d'où une relation

FOKMATION EXPLICITK DES ÉQUATIONS DÎFl'ÈRE.NTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 33

permellanl d'exprimer B en fonclion algébrique de A el de la constante arbitraire y; l'intégrale remarquable correspondante sera la racine commune

aux deux équations précédentes, P| et Qi étant des polynômes entiers en A, Ji, v; Téquation différentielle (lo)' s'abaissera au degré trois par la suppression (lu facteur commun j' — y^ au numérateur et au dénominateur de y, et il restera

•^ 3(3 A -4- 2B -h 4) Pi(A, B, y)y - 26(2 A h- B -h 3) Oi(A, B, y)

avec

Remarque /. — Si Ton écrit que (10)' se réduit au degré trois^ en exprimant

2(BA'-AB')-3B' ^ • ^ I' • . i.- .

que Vi =: — ^ .^-r, ', est une racine du dénominateur, on obtient une

^ "^ 3A -4- aB

relation différentielle algébrique

3(3A + 2B-4-4)[a(BA'-AB') — 3B']*-+2B(2A-hB-+-3)(3A'-+-2B')«

- (6A«-h 9A -i- 4AB 4- 2B) [2(AB'— BA') -h SB^ (3A'-h 2B') = ô,

dont rintégrale générale est précisément mise sous la forme algébrique

Remarque II, — On peut exprimer les coefficients de l'équation différentielle (i4) en fonction AATioi«nELL£ d'une fonction arbitraireT(x)y de sa dérivée première et de la constante arbitraire y.

En effet, quand la condition

est satisfaite, les deux équations

47'H-3A^'-haB/-~y(3A-f-2B-f-4) = o,

A/'-h 2B7*— 3(3A -h 2B 4- 4)yv -i- 4y(2A -4- B -h 3) = o

ont une racine commune T(a:); on a alors les deux relations

A(3T*— 3yT-h2y)4-B(2T — 2yT-hy)=— 4T»-4-4yT-3y, A(T»— 9yT-4-8y)-+-2B(ï'-3yT-i-2y) = i2y(T-i),

qui, résolues en A et B, donnent A et Ben fonction •/'a^io/î/ie//e de T(a7) et de y.

3'| A. CAHKN.

L'ëqiialion diflerenliellc dexient alors

où Ton doit rtMviplacer A et B par les valeurs précédentes, et A' ci \V par leurs dérivées.

(^iNQuik.ME .CAS : Il existe cinq solutions remarquables doubles. — Nous avons vu précédemment que, dans le cas de quatre solutions doubles, Téquation correspondante (i4) était du quatrième degré.

Pour qu'elle s'abaisse au troisième degré, il faut et il suffit qu'il existe un<* nouvelle solution remarquable pour une valeur yi de la constante, autrement dit

(|uc les deux é(|uations

y]' r'-hV v-f- W z=o,

qui ne diflèrent des équations (i i) que par le changement de y en r,, aient éi»alenient une racine commune, d'où la relation

(|ui, jointe à la relation

détermine B et D en fonction algébrique de A et des deux constantes arbitraires y et y,. De plus, l'intégrale remarquable correspondant à yi a pour expression

j,v«^;- L';w'— wai; ~Q(A,B,D,y,V

et Téquation différent ielle ainsi obtenue s'écrit :

,,6. . P(A,BJ),y)P(A,B,D,y,)Py(.>-i)

où. les coefficients sont des fonctions algébriques de A et des deux constantes y et yi, ou encore des /onctions entières des quantités A, B, D, y, y, liées par les deux relations H = o, H'= o.

Remarque 7. — Les deux relations algébriques

donnent précisément l'intégrale des deux relations dilTérentielles algébriques obtenues en écrivant que, dans l'équation (5)', le polynôme

2l)y»-h...-h2B(2A-hB — D + 3)

FORMATION EXPLICITE DES ÉQl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ET<.. '35

est divisible par

DS

2(AB'~ BA ) -f- BD- I)B -i- 3B .

Ileinarque If. — Les coefficienls de l'équalion difTérentielle (i(i), que Ton \ienl de foriner, peuvent encore s'exprimer rationnellement à Taide de deux fondions ^{x), T(r) liées par une relation algébrique^ de leurs dérivées premières et des deux constantes arbitraires y et y,.

En eflTel, en désignant par T(x) et ^{x) les deux, intégrales remarquables correspondant aux valeurs y et yi de la constante, A, B et D vérifient les relations

-3yT

-Ha)B

Ci'S relations seront compatibles, si le déterminant

1 3(T«-y) j T'-9yT

•P— 3vT

e»— 3ye

est nul; d'où une relation

Aloi's les trois premières équations (17) donnei'ont A, B, U en fonction ration iielle des quantités T, liées par la relation f= o, et l'on aura l'équation

TOD^Ck-i)

aDTej -4- 2B(aA -H B — D -+- 3)

où A, B, D sont remplacés, au moven des relations (17), par leurs valeurs en fonction rationnelle de T, 0, y, v, et D' par la dérÎK'ée de D.