I. — Étabussbhbnt d'une formule fondamentale

une équation différentielle algébrique; le premier membre est un polynôme irré-

ductible du second degré en y et de degré donné en y, dont les coefficients sont des fonctions analytiques quelconques de x. Si y,, CJ21 gz désignent les degrés en j^ des polynômes L, M, N, on peut toujours, moyennant une transformation homographique efl'ecluée sur^ et dont les coefficients sont des fondions de X, admettre que L, M, N sont de degrés q — 4? ? — 2 et </ en^, en désignant par q le plus grand des Irois nombres q^-\' ^, q2-{- '2 et q^-

C'est ce nombre q que nous appellerons désormais le degré de l'équalion différentielle.

Nous nous proposons de former explicitemeznt toutes les équations (i) c/e nKGRÉ q DONivÉ, dont r intégrale générale ne prend qu un nombre dokivé n de valeurs autour des points critiques mobiles.

Il s'agit donc, dans les équations que Ton formera, d'exprimer algébriquement les coefficients des polynômes L, M,N à l'aide d'un certain nombre de constantes et Ai^, fonctions arbitraires de x (et de leurs dérivées).

2. Si l'intégrale j^ {x) acquiert exactement n valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire, dans le cas où le genre xs de la relation entre les constantes intégrales est nul {*)

(9.) aC*— 2[3C-hy — 0,

où a, ^, V sont des polynômes en^ de degré n, DilTérentions l'équation (2), il vient

L'élimination de C entre (2) et (3) conduit à une étpiation diflerenlielle de degré 4"?

(4) L,/«-2M,/-hN, = o,

que l'on peut écrire sous les deux formes suivantes :

dyY

(*) Si le genre m de la relation entre les constantes intégrales est égal à un, a, j^, y ^^"^ jde degré an. Le cas de m > i ne peut pas se présenter ici. ( Voir Tlntroduclion.)

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 3']

Ces deux dernières équations vont nous servir, Tune et l'aulre, à établir rapidcmenl une formule, qui n'esl d'ailleurs qu'un cas particulier d'une formule beaucoup plus générale, de M. Painlevé (*), relative aux équations différentielles

de degrés quelconques en y ^ y.

3. Si Téquation différentielle (4) se réduit au degré g, c'est que les polynômes L,, Mi,N| contiennent un facteur commun \\{y^œ) de degré .\n — qeny. Le^ racines de H jouent, d'ailleurs, un rôle important dans la théorie qui va suivre.

Posons

L, (V, .r)=z L(7, X) U{y, .r). M, = MH, N. = ^\L