M«— L\ = P»QR

Téquation H=o de degré k désignant les inlégrales singulières et Q = o de degré y, le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales. Soit, de plus, i le degré de P; les nombres £, y, k vérifient la relation

(8) 2gr — 4 := 2 « -hy H- X\ Si l'on forme le discriminant ,3^ — ay, on a

(9) p'-«y=.mo'n,

et le degré m de H est lié à w,/, k par la relation ( I o) 2 w =: 2 m -f- 3y -♦- X".

De l'égalité (8), on déduit

' dy ' dy dy \ ày dy ^ Oy

et la forme (5) de l'équation différentielle devient (n) n'Q.|Q[(,QR^+3nR^^nQ^)/

ojc ôx Ox }

(*) Leçons de Stockholm, p. 169, égalité (9).

A. CAIIKN.

(:<' (|iii iiionlrc que IPQ-* cuire en facteur dans le premier membre de Téqualioii ( \) et, par suite, que lliy,x) contient les racines nuiltipfes A\\ discriminant |j- — ay au ma me degré de multiplicilé.

D'autre pari, sur la forme (5), on vérifie que toule racine r = i'(^') d'ordre /> de i'i) pour (I =r^ C| (C| -^^ o par exemple) est racine d'ordre p — i dans Téqualion (.V) quel que soit y\ Donc, iouie solution remarquable d'ordre p fi*^ure dans H( \r, x) au degré p — i .

Inversement toute racine r = ^'■(.^^) de H -— o vérifiant simultanément les trois relations

^ - [A'(-^). •'•' <^( AS ^ )] ^^J^' -^ J^ ^'(r -^ ;)[; ^^<^( AS -f) = <>»

venin»

ôc

-Vg{'f')^^t'A^Af>'^'^)\dCAg,.r)--z o,

(■'(•sl-à-(Jire, soit la relation

soit la suivante

r/(:(A', ^•)r=io.

Donc, toute racine )'== ^(j:) de H est soit une racine du discriminant |5- — ay, soil une solution (non singulière) de Téqualion différentielle, f.e degré f\n — q de H(j', »r) est égal, par conséquent, à

cl connue

on obtient la fokmtlk FOND\MENT\Lh