II. — EXAMBN d'un cas SINGLLIER

i. Donnons-nous maintenant une équation

aC*— 2|3C H- y ^: o.

Si l'on a posé

C est une fonction rationnelle de^,^''^ c'est-à-dire une fonclion à deux valeurs

dej)', renfermant le radical vQf^«

Tout ce que nous avons dit précédemment subsiste.

11 y a toutefois un cas exceptionnel, que l'on peut rencontrer, même en supposant la relation (•>.) irréductible. C'est celui où le premier membre de Téquation en y', déduite de (2), est carré par/ail.

Quand il en est ainsi, soient C< = yi (j', j:), C2=^'/^2{y, x) les deux racines

de ('i) correspondant à une même valeur de^. yj est une fonction do ya, et, par

suite,

Xi + Zî = tionst., /, X, — consl.

sont deux formes de l'intégrale de l'équation (i); autrement dit

!- = const., ^ — const.

définissent toutes deux Tintégrale générale de (i). Ou voit alors immédiatemcnl qu'il existe entre a, ^, y une relation de la forme

«a -i- 6{3 -h cy ^o,

a, fr, c étant des constantes numériques.

Dans ce dernier cas, les racines^ = g{x) du discriminant

sont des solutions ordinaires de (i), c'est-à-dire qu'elles donnent à la fonction C(yj ^), définie par (2), des valeurs constantes.

4o A. CAIIEN.

En effet, s'il en élail autrement, la courbe j' = ff{'^) serait soit une em^eloppe, soil un lieu de points de rebroiissement , soit un lieu de points doubles des intégrales particulières. Or pour une équation différentielle du premier degré en y ^ il ne peut exister de tels lieux.