III. — Position de la question
5. Arrivons maintenant au problème que nous nous sommes |)roposé au commencement de ce Chapitre.
On se donne le degré q de Téqualion différentielle (i) et Ton suppose (pie cette équation est véritablement du second degré en y'. Choisissons un système quelconque d^entiers positifs i,j\ A* satisfaisant à la relation
avec les conditions
Je dis que, dans ces conditions, il y a une infinité dVquations (i) correspondantes.
En effet, prenons arbitrairement quatre polynômes [4, IT, Q, R de degrés w, m, y, A enj^^, avec la condition
2 /i = 2 wi -h 3 / 4- /»".
La différence
est un polynôme de degré 2n en y, que je j)uis toujours décomposer en iiii produit de deux polynômes de degré n, que j'appelle a et y. Les coefficients de ces derniers polynômes sont ainsi déterminés en Jonction algébrique des /// -f-y -h A -f- /i -f- 2 coefficients arbitraires A(.r), [Ji(^), ... de p. Il, Q, R.
Pour que Téquation (i) dont (2) définit rinlégrale générale soit de degré </, il faut et il suffit qu'il existe [a soXwùon?, remarquables y ^{x)^ y. ^{x)^ . ,.^y^{x) de multiplicités r/,, a.^^ . . ., a^, telles que Ton ait
Exprimons que^' = gr{^) est une intégrale remarquable d'ordre a^? autrement dit que j' = gr(^x) est une racine de D| = o d'ordre ar — i et que, de plus, c,- désignant une constante numérique, on a
FOUMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 4^
nous obtenons ar égalités, qui, après l'cliroination de jv, donnent lîeu à a,- — i conditions algébriques dépendant de la constante C,..
Si maintenant je désigne par a\ — i, «2 — i^ • • •> ct\i — > "n système d'entiers positifs (moindres que /i), doni la somme «1 — i + «j — i 4- . . . -|- «,a — i est égale à 'in -\- k — q^ et si j'exprime qu'il existe a solutions remarquables
de multiplicités ^1, «Ta, . . ., a^^ j'obtiens
«1 — 1 -h«i— i-+-...-hajj, — I=r2/^-hA- — q
conditions algébriques dépendant de constantes Cr, en nombre égal au nombre [x des solutions remarquables. Il reste donc
fonctions arbitraires.
Pour /, y, A" choisis, comme nous Tavons fait plus haut, le nombre des constantes Cr est maximum si tous les «rsont égaux à 2 ; on a alors 2n -h k — q constantes Cr, c'est-à-dire 2n -\- q — 4 — a' — J* Siy = o, le nombre des constantes est égal à 2/1 -f- <7 — 4 — 2/; on peut dire que c'est la solution la plus générale.
Nous voyons donc que, à chaque choix des entiers positifs i, j, k assujettis à la condition ^i-i-j -hk= iq — 4 (avec les restrictions indiquées) correspond un nombre fini de systèmes de conditions algébriques entre les coefficients de V équation (2).
Chacun de ces systèmes définit une é{\wdii\oïi ['i) dépendant de i -\- t\ fonctions arbitraires et d^un certain nombre de constantes arbitraires, égal au nombre des solutions remarquables. Ce nombre atteint son maximum 1 n -f A* — q quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
IV. — Résolution des objections que l*on peut faire a la théorie précédexth.
6. Plusieurs objections peuvent être faites à la discussion précédente :
1" Les conditions imposées sont-elles comvxtihi.es et ntTERMi^tEs'^ 2" Quand elles sont remplies, n entrainent-elles pas un abaissement plus considérable du degué q de Inéquation (1)?
3** Quand elles sont remplies, /'équation (2) est-elle irréductible?
4"* La relation (i) correspondante ne se réduit-elle pas au premier degri':?
5" Enfin, le nombre de branches de V intégrale, permutables autour des
/|2 A. CAIIEN.
points critiques mobiles, est-il bien égal à n et ne peut-il pas être inférieur à ni
Nous allons montrer que toutes ces objections sont en défaut dans le cas, que l'on peut considérer comme le plus général, où toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
Nous traitons en même temps les trois premières objections portant sur Vincompatibilité, V abaissement de q et V irréductibilité de l'équation (2),
aC*— 2^C-h7 = 0.
7. Objections 1, II et III. — Les conditions qui portent sur les m 4-y" -4- A* 4-/1+2 fonctions arbitraires 'k{x)^ V-{^)t • • • peuvent sV'crire, si tous les ar sont égaux à deux.
Ct
a[7i(j^"),^] P (ji, X ) -f- v^?*(7j, x) — a(.K„ x) y(yt,x)
P .. ?{yin-^k-q^x)-\-\/^*{yin+k-qyX) — (x( y^„^k- ij^ x) y {y^^^,,^^, x) ^
les fondions JKi^.^iC-^), y^i = g'i{x)j •••, J'2«4-*-7= A'2«+*-v(-^) désif^manl
2/1 4- A' — y racines de D| = o.
Les seconds membres de (S) sont donc des fonctions algébriques connues des coefficients )^(x), \f-{x)y ... de p, II, Q, Ri
Tout d'abord les constantes Cr étant entièrement arbitraires, pour jc = oto les fonctions )v(^o)j (^^(-^0)? • • • coefficients de p, II, Q, R sont arbitraires, et, par suite, il en est de même des polj'nomes
?(/,J^o)» n(j, o^o), Q (7,0:0), R(7, ^o)- On peut donc toujours supposer que pour x =^ x^ la relation
aC*-2(3C-+-y = o,
est irréductible et que, de plus (pour x = .Tq), les polynômes II, Q, R ont leurs racines en y simples et distinctes; par suite, pour x=^Xo, Di a toutes ses racines simples.
Ceci posé, si les équations (S) ne sont pas compatibles et déterminées pour des valeurs des Cr arbitrairement choisies, c'est qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, est identiquement fonction des awZ/'e^; autrement
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. ^3
dit, que les a/i -+- A' — i premières racines de D| ne peuvent donner à la fonction
des valeurs constantes, sans quMl en soit de même pour la racine suivante de D|, et, par suite, pour toutes les autres par raison de symétrie.
8. Nous allons voir que cette conclusion est impossible; nous allons démontrer en même temps qu^il est impossible que les relations (S)^ distinctes ou non, entraînent comme conséquence que d'autres racines de D< =::= o, distinctes de celles qui Jif^urent dans (S), rendent nécessairement constantes les valeurs correspondantes de C(j', x).
Admettons, en eflel, que p équations (S) (p^u/« 4- A' — q) entraînent comme conséquence qu'une ï*acine suivante de D| et, par suite, toutes les autres soient solutions ordinaires de Féquation (i). Dans ces conditions, le degré irréductible q\ de (i) est nécessairement éi;al à 4- Ceci n'est possible que si le radical v^QH que renferme y porte sur un polynôme du quatrième déféré, c'està-dire si y -h A" ^ 4 J donc est égal soit à a, soit à i .
Observons tout d'abord que, si V entier q donné est égal à 4? ^^^ bien ^ =z in -\- k — 4? et alors, toutes les racines de D| sont épuisées dans ce système des p relations (S), ou bien p<;2/i-|-A — 4> ^^ alors, siy4-A' = 4î 'e système (S) laisse au moins cinq des fonctions X, u, ... arbitrcnres; el siy + A=2, il laisse au moins six fonctions arbitraires.
Enfin, si gr >- 4, les p équations (S) laissent au moins cinq fonctions arbitraires si y -I- A^ = ^ et six fonctions arbitraires si y -f- A = 2.
Deux hypothèses sont alors possibles ;
PaEMikRE HYPOTHÈSK. — Uéquation en y' correspondant à (m) est bien du second degré en j'.
Dans cette hypothèse, si y -f- A --^ 4> exprimons qu'une des racines
y--gs(x) de QR — o
rend constante la fonction C(y, x)^ autrement dit, est une solution ordinaire de (1), y — Si{^) ^^^^^ figurer, comme Ton sait, en avant du radical dans IVcpiation (i) résolue en y'
/zzz M + v/QK r^ M + [y - gs{x)]s^{] ( J, X),
Le radical étant du quatrième degré, ceci est impossible, à moins que l'équation (i) ne se réduise au premier degré.
Mais comme cette équation du premier degré est nécessairement une équation
de Riccati et que, d'autre part, il reste au moins quatre lonGÙons arbitraires, il y a contradiction.
Si, maintenant, y -j- /• = 2, il reste au moins six fonctions arbitraires; si nous disposons de deux de ces fonctions de façon que deux racines de QR = o soient solutions ordinaires de (i), c'est-à-dire donnent à C(y, x) une valeur constante, il reste quatre fonctions arbitraires. D'autre part, l'équation (i) en y' ne peut rester du second degré, car dans l'équation résolue en j^', on aurait le facteur du second degré
en avant du radical, ce qui est impossible puisque q =z ^, Donc, l'équation se réduirait au premier degré, et serait, par suite, une équation de Riccati, ce qui est absurde, puisqu'elle dépendrait, dans le cas actuel, de quatre fonctions arbitraires.
Seconde hypothèse. — Le premier membre de V équation du second degré en y' est carré parfait.
C'est, par suite, une équation de Riccati, puisque <jr, = 4; or nous aurions au moins cinq fonctions arbitraires, .ce qui est absurde.
