Passons, maintenant, aux deux dernières objections
Objection IV. — U équation différentielle (1) qui correspond à V équation (2) la plus générale, est-elle bien du second degré? autrement dit, les conditions (S) portant sur les fonctions X(:r), tx(a;), . . . n'cntraînent-elles pas comme conséquence que l'équation (i) en y' est carré parfait?
S'il en est ainsi, toutes les solutions jk = /^C-^) de nQR=o sont des intégrales ordinaires, c'est-à-dire donnent à C(^, x) une valeur constante.
Si nous posons
- — -^ ~/{yi^)y
la relation
est une conséquence des relations (S), que nous récrivons sous la forme
Ceci exige que le second membre de (E) y(.^) soit une fonction des seconds membres de (S)/, (x), f^i^)^ • • •^An-q+ki^)*
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PRF3I1ER ORDRE, ETC. 4^
Inversement, le dernier second membre de (S), soil/in-q+ki^)^ est une fonction des seconds membres précédents et du second membre de (E). On peut donc remplacer le système (S) par un système (S') comprenant Téquation (E), où C est une constante arbitraire, et les 2n — q -\- k — i premières équations (S)
Ci zz:/,(j?),
la dernière équation (S) est alors une conséquence du système (S').
Le système (S') entraîne donc comme conséquence, à cause du rôle symétrique des racines restantes y = g{x^ de D| = o, que toutes les racines y = g{x) de D| = o non employées dans (S') rendent constant C(j^, x).
Donc l'équation différentielle (i) réduite à son degré minimum serait de degré quatre, et comme son premier membre est un carré parfait, ce serait une équation de Riccati, ce qui est en contradiction avec ce fait que le système (S') laisse arbitraires au moins quatre des fonctions X(j7), ^{x)^ ....
10. Objection V. — Je dis tout d'abord que dans le cas le plus général, le GENRE m de la relation entre les constantes intégrales est égal à zéro.
En effet, tout d'abord si y 4- A* > 4? pour x =z x^Xe radical y/QR est le radical le plus général de son degré, et, par suite, la courbe
n'est pas la transformée rationnelle d'une courbe de genre un, ce t|ui a lieu nécessairement si 13 := I .
Si, maintenant, y -|- A* = 4, le genre de la courbe
est égal à un. Or, nous savons que si p = xs= i^ l'équation (i) a ses points critiques fixes (*). Alorsy = o, A- = 4 e^ le degré irréductible de l'équation (i) est égal à quatre.
Inversement si l'on a à la fois
(*) P. Painlevé, Annales de l'École Normale, p. 211; 1891.
46 A. CAIIEN.
l'équation a ses points critiques fixes, m est égal à un, et, par conséquent, le nombre v des branches Ae y[x) est égal à un, quel que soit n.
Enfin, si j -{- k = 2, on a p = o et, par suite, m = o.
On voit donc que, si on laisse de côté le cas de q==^^ j'zzizo^ k = /\y le genre w correspondant à Inéquation la plus générale est égal à zéro.
11. Je dis, maintenant, que la fonction y{x) définie par (2) prend bien, en général, n valeurs.
En effet, si elle en prenait seulement un nombre v <C /i, on pourrait mettre l'intégrale générale sous la forme
où ai, |3|, Y< sont des polynômes en y de degré v, ce qui est toujours possible puisque lu = o.
On sait que C est nécessairement une fonction rationnelle de C, C = ^^'(C'). Soit d'abord v >> i , et C^ une racine multiple de Tégalilé
et Cr la valeur correspondante de C, qui existent toujours, puisque W n'est pas du premier degré. Comme les ordres de multiplicité des solutions remarquables sont égaux à deux, la multiplicité de C,'. est seulement égale à deux et les v solutions j^ = gr{^) correspondant à la valeur C^ dans (2') sont distinctes.
Dans ces conditions, les valeurs de C^ correspondant aux v solutions remarquables y := gr{x) de (2) seraient égales, ce qui est absurde, puisqu'on les a prises arbitrairement.
Le raisonnement n^est en défaut que si v = i ; mais alors, si v = i, /? = ?ït et, comme 73 = o, /? est nul ; j -{- k =^ 2, il faut que j soit nul, A* = 2 et </ = 4»
Inversement siy = o. A* = 2, y = 4? v est égal à un, quel que soit n.
12. Nous pouvons donc énoncer les résultats suivants : Laissons de côté les deux cas
cas où l'équation différentielle a toujours ses points critiques fixes.
Dans tous les autres cas, les conditions imposées aux coefficients de (2) pour des valeurs de n^ q données et les choix de e, y, k {avec les restrictions indiquées) sont compatibles et déterminées et définissent une équation (2)
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIEU ORDRE, ETC. 4?
dépendant de i-\-/\ fonctions arbitraires et de in -\-k — çr = 2 n-\-cj — 4 ~ '^' i^-^j
