Il Y A UNE SEULE INTÉGRALE SINGULIÈRE

10. Equations de degré cinq. — Dans ces conditions, le degré de l'équation de différentielle est au plus égal à cinq. Soient y = i V intégrale singulière, y=^o le lieu des points de rebroussement. Supposons, de plus, que j'= oo soit solution ordinaire pour C = oo; d'où a^ == o,

( ?îr'+Pir-+-po)'- J'(7- 0^(72/' -h yij -4- Vo) («,/-+- «j; l'intégrale générale prend alors la forme (où [ïa^^ i)

«1 y -I- cf.Q

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 55

les coefficients sont a, , a^, ^i, ^o sont liés par la relation

(6) ai(aoPi— ?oai)*— aaîCaol^i — Po»!) — a? = o,

qui exprime que

est divisible par aL^y -\- a©.

On déduit de là

et Téquation différentielle correspondante s'écrit

- 4( V — !)(«,/+ «',7 + a'o) [(2y,-+- 7, )>' + •/,r'+ -/', / + yil = o ou

- «.(/i7'+ y'iJ -H yi ) - («'./ -1- «'«) (2yi.r -1- 71 )]/'

où Yî, Yd T« o"'^ '*s valeurs (7), et a,,, a,, ^,, p^ sont liés par les relations (6).

Dans le cas actuel, nous pouvons exprimer les coefficients de Téquation difTérentielle, en fonction rationnelle de trois fonctions arbitraires A, B, T, et de leurs dérivées A' B', T'.

En effet, de la relation (6) on tire

«oPi ~ Po^i —

Posons

il vient

«o-^-A, a,= A('P-i), iîio=H.

Il suffira de remplacer dans (8) les a, p, y P^^ '^^ valeurs que nous venons de calculer.

5b A. CAHEN.

11. Équatiojns de degré quatre. — Dans ce cas, y = 00 est une solution remarquable (soit pourC =00); d'où, en tenant compte des calculs précédents,

«ï— «1 — O, 2pi — — I, yo— , y,__— -, y, ,

Téquation (8) devient

ou bien, en remplaçant yo et y, en fonction de pQ et a^,

4(^-.)(«; Po«;-ao(3; ^^^, «;p;-.p.p;«. p,A ^^