I. — Il Y A SIX INTÉGRALES SLNGLLIÈRES

2. Dans ces conditions, nous supposerons qu'on a disposé des coefficients de la transformation homographiquc de façon que j' = o, jK = i,y==30 soient des intégrales ordinaires correspondant aux valeurs C = o, C=i, G = oo de la constante d'intégration; en sorte que l'équation difTércntielle (') correspondante sera toujours de la forme

où L, M, N sont des polynômes de degrés respectivement égaux à 8, 10 et 9.

Équations de degré douze. — L'équation la plus générale dont l'intégrale possède trois branches est de degré douze; L, M, N seront alors de degrés 8, lo et 9; et si a, ^, y désignent trois polynômes en y de la forme

a = «27* -H «1/ -H ' . ? — Ps/' + ;3,7' + Pj j H- (3o, y — y, j' 4- 7,7' -i- y,/,

a%'ec la condition suivante, qui exprime quey = 1 est intégrale pour C = i ,

a,4- «i-f- 1 -h y,-h y,-f- 7,= 2(i33-H j3,-+- PjH- (3o),

l'équation différentielle (1) s'écrit de la façon suivante :

W dY ^dr)-^ dx ' ôx\

et les coefficients de L, M, N sont, par suite, des fonctions rationnelles des a/, P/, y/ et de leurs dérivées.

(*) Pour obtenir toutes les équations répondant à la question, il sufHra de remplacer

dans chacun des types obtenus y par —~^ — j- — ^-—^ et y' par la dérivée de celte exprès-

sion; la nouvelle équation renfermera alors rationnellement les irois fonctions arbitraires a(ar), b{x)^ l{^) et leurs dérivées premières.

58 A. CAIIEN.

Remarque. — L'intégrale et le terme indépendant de y pouvant s'écrire

également

le fadeur^' — i se met aussitôt en évidence dans ce dernier, en vertu de Tidenlité

3. Equations de dec.r^. o^zF. — En écrivant f|ue^' = 30, par exemple, est une intégrale remarquable double, d'où a2=o, on obtient une équation (1) où L, M, N sont de degrés 7, 9 et 8.

Equations pe dfgué dix. — Deux cas peuvent se présenter, suivant que rabaissement du degré provient de deux solutions doubles ou de la présence A\ine solulion triple. Dans Téipialion (1) correspondante L, M, Nsonl de degrés G, 8 et 7.

L il y u deux intégrales remarquables doubles. — Soient j^ = qo, j^ = o, d'où aj^y, = 0. Après suppression du facteur j>', il reste une équation (i) du degré indiqué.

II. Il y a une intégrale remarquable triple. — On partira de la forme de

l'intégrale

O- 2((3,y' -^ p,y^ 4- p,y 4- Po)C -T- 73 v»-f- 7,7' 4- 7, j = o

[73-^-7*-^-yl-^-»==2(P,4-j3,4-p,4-l)], et Ton obtiendra une écpiation ( i) de même forme que tout à l'heure.

Equatioas de DKcnÉ KEUF. — Ici encore, il y a deux cas à distinguer :

I. Il y a trois solutions remarquables doubles. — Soient j^= o,j=i ,y = 00 pour C = o, ( , 00. On partira de l'intégrale générale et des conditions

(a,/4-i)C*-2(j3,j»+P,7*-t-(3.7 4-(3o)C4-73/'+7îy'=o, «1 -H I -^- 73 -»- "/î== 2((33 4- (3,4- Pi 4- po), «i H- 27» ■+- ^7»= 2 (^P3 -+- 2^1 4- Pi),

en remarquant que la relation suivante, conséquence des deux précédentes,

(7,-2p,)/'4-(7,-2(3,)7'H-(ai-2p,)7 4-i — 2|3o

permet de mettre en évidence le facteur^ — 1 dans les coefficients de y'^ et 7' et

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 5()

le fadeur 0' — i)^ dans les aiilres lerincs en sorle qu'après la suppression du dkclcur y(y — i), il restera Téqualion (i) demandée.

II. Il y a une solution triple et une solution double. — Soient j)*::=oo,r=ro,

on partira de

O- 2(|33/'^ Po«^ p,y -^ (3a) C -h y.y'-^yo'-'^o

4. Éqlatiojns de degré huit. — Il y a trois cas à distinguer :

I. Ilj a quatre solutions doubles. — Quand ^ = o, y = oosont deux solutions doubles pour C = o, C = oo, l'intégrale générale prend la forme

(a, v-h OC*— ^(;?,v»-f-(35v'4- PiV4-(3o^C-hy3r'-f-y,v':=:o.

Si v=i, V = ï« sont deux nouvelles solutions remarquables doubles pour C = 1 et C = Cn les fonctions y^, Pa, p^, ^i s'expriment en fonction rationnelle de T,, «1, Ya et de la constanle C|, au moyen des relations linéaires

-3y,TÎ-+-6(3,C/rî-4-4P,C,T, 4-2(3, C» rr ay^T, -f-a.C?,

— 3y, H- CP, -f-4(3i 4-2(3, r-:2y, 4-a,,

^^^ ' 2(3,C»TÎ-4(3|C,T.:-y,Tî -f-2a,(:;T,-+-3(Cî -^p^C,),

2(3,4-4(3, --y, 4-2ai 4.3(1 — 2po),

et le premier membre de Téquation différentielle correspondante, après suppression du facteur j^(r — 0(^ — ^Oj ^^^ ^^^ '^ forme (1), où L, M, N sont des polynômes de degrés 4^6 et 5, dont les coefficients s' expriment rationnellement à l'aide de la constante arbitraire Ct, des trois fonctions arbitraires cui , vj, T, et de leurs dérivées a'^, y'^ et T', .

II. Il y a une solution triple (y = co) et deux solutions doubles (^=0, y = i). On partira des formes suivantes de Tintégrale générale et dans le résultat final on supprimera le facteur ^'(^ — 1)