Equations de degré sept. — H y a trois cas à distinguer

I. // existe cinq solutions remarquables doubles. — Soient j>'= o, 7 = i , V = 00, r = T|,^ = Ta pour les valeurs o, i, 00, C,,C2 de la constante. L'inté-

6o A. CAHEN.

gralc générale s'écrira

<»l les fonctions ^o> ?i> p-iy pzt y-ij ys s'expriment en fonction rationnelle de T|, T2, ai et des constantes arbitraires C|, Cj, an mojen des relations linéaires

-3Tîy,-2T,y,+ 6C,Tî;3,+ 4<:.T, 13.-4- 2C,?, =«.(:Î,

-3TJy3-2T,-/,-H6C,T*|3,-i-4C,T.3.-i-aC,?, =«.CJ,

— 3y, —ay, +6^5 -t-4Pj + 2^, ^a„

-Tjy, +2<:,tî?.+4C,t,p,-6(:,;3o=2Cît.«.+ 3(:î,

-TJy, -i-2C,Tî;3j4-4CiT,;3,-60jP„t=2r4T,«,-t-3q,

l/équation différenlielle correspondante, après suppression du faclenr

est de la forme (i), où L, M, N sonl des polynômes de degrés 4? ^> et 5, dont les coefficients s'expriment ration jnellemekt à Vaide des constantes arbitraires (^1, Ca, des trois fonctions arbitraires a,, T,, To et de leurs dérivées premie r es a,, 1 ^, 1.^.

6. II. H existe une solution remarquable triple et trois solutions renia rquables doubles. — Soient j' =^ oo la solution triple pour C = oo el v = o, y r= i , y = T, pour C = o, i , C| . L'intégrale générale est de la forme

C* __ 2 ( ;337' + ?,/« ^- ;3,7 -^ Po) c 4- -/3 J' -+- y,/« = o.

Les coefficients jïs, ^o» ?iî Ys s'expriment rationnellement à l'aide de T|, ya et de la constante arbitraire C|, au moyen de relations linéaires qui se déduisent des relations (a) en y faisant ai = o. L'équation difllerentielle qu'on obtiendra, après suppression du facteur y{^y — i) (^y — Ti), sera de la forme (i) et ses coefficients seront des fonctions rationnelles de C|, T| ya, T, , y!,.

IIF. Il existe deux solutions triples {y =^ o^ y =^ oo) et une solution double (y = i). — L'intégrale générale est de la forme

C*^ 2(;3, v'-f- Pj v>+ (3,j -h ?o) C -f- yar» =o, -37,-h6(3s4- 4(3,-1- 2^1=0, y,-Hizz:2(;33-hl3,4-!3,-h?o),

et donne lieu à une équation diUerentielle qui, a|)rès la suppression du facteur y- (y — i), est de la forme (i).

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 6l