Lorsque l'intégrale générale de Téquation

(3) L/«— aMy+Nmo

ne prend qu'un nombre fini n de valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire

(4) aC*-2pC4-y = o,

où a, p, Y sont des polynômes en y de degré /i, si le genre gj de la relation entre les constantes intégrales (^) est nul et de degré 2/2, si ce genre est égal a un. Quant au cas de tïj>» i, il ne peut se présenter ici (').

(<) C'est pour moi une occasion de comparer les types ainsi obtenus à d'autres types, formés précédemment par M. Painle\é, à l'aide d'une première méthode développée dans les Annales de VÉcole Normale (1892). Cette méthode, qui donne lieu à des calculs assez simples, ne fournit pas explicitement \t^ équations (2), dès que le nombre de branches de l'intégrale est supérieur à trois, mais astreint les coefficients de (2) à certaines relations différentielles .

(*) Quand l'intégrale générale est de l'espèce indiquée, il existe une classe de courbes algébriques de même module^ dont la courbe (3) en ^', y (où x est un paramètre quelconque) est une transformée rationnelle d'ordre n, et dont le genre xa est an genre de la relation entre les constantes intégrales. On peut choisir deux intégrales premières rationnelles en iy,y) : G = R(^',^, ar), c=^r{y\y,x), telles que G et c vérifient la relation entre les constantes intégrales, et que toutes les autres intégrales premières rationnelles en y, y, soit ^ = p{y, y, x), s'expriment rationnellement en C, c.

(') En eiïet, si tït > i, il existe au moins deux multiplicateurs algébriques de l'équation

jtr' • Il ^HJi^) U\(y,x) j , H(yjx) , ,.. , ..,. .

diiïerentielle - ,~=^ el — ,i L > dont le quotient tt-t^-^ — > égale a une constante, deiinit

v/QR /QH ^ H,(>^,ar) ^

l'intégrale générale, qui correspondrait alors à une équation diiïérentielle du premier degré en y'. Voir Painlevé, Annales de l'École Normale, p. 220 et suiv.; 1892.

Soit d'abord le cas de w=^o. Posons