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d'où la relation alf^ébrique (où F est un poljnome en ïi , To, ï.i, Cj, Cj, Cs)

F(Ti, ïj, T3, L|, Cj, C3) — o,

qui permet d'exprimer T3, par exemple, en fonction algébrique des fondions arbitraires Ti, Tj et des constantes arbitraires C|, C2, C3.

Dans ces conditions, on pourra résoudre les sept premières équations (5) par rapport aux a/, ^j qui seront exprimés ainsi rationnellement à l'aide de T| , Ï2, T3, C|, Co, C3, liés par la relation (6). L'équation différentielle correspondant à la relation (4) (où les fonctions a/, ^y sont exprimées au mojen des T et des C), après suppression du facteur j^(j' — ^){y — T|)(j^ — '^i){y — '^s)» ^^^ ^^ '^ forme (i), où les coejfficients des polynômes L, M, N sont exprimés ratio nivellement à l^aide des trois constantes arbitraires distinctes G|, Ca, C3, des trois fonctions T,, T2, T3 liées par ta relation algébrique (6) {et de leurs dérii^ées), ou

G 2 A. CAIIEN.

bien encore où les coejjîcients sont exprimés ALcÉBRIQVEM^:^T à Vaide des trois constantes arbitraires C|, Co, C3, des deux fonctions arbitraires ïi, T^ et de leurs déri\'ées,

U. // existe quatre solutions remarquables doubles cl une solution triple, Soiciil y = co soin lion triple ponr C =- oc, el ^r = o, y -^ ] ^ y = T« , y = T^ solnlions doubles ponr C r:^ o, C ~ 1, C ::= C|, C = Cj. On pari de

avec des relations qni se dédniscnt de (3) en faisant ai = o: Ici L, M, N sont de degrés 3, 5 et zf, mais les concinsions sonl idmliqnes a celles dn premier cas du n" o.

8. 111. // existe deux solutions triples (y = o^y = oo) et deux solutions doubles ( V = I , ^' = ï,). — On a Tintégrale g(5nërale (7) avec les relations (8),

(7) ■ C'-2(p,7»4-(3,r'H-(3,j4-(3jC-+-y3v»=:o,

- SyjTJ -+- ePaC^T, -^ /,p,C,T, -^ 2?,C, z= o,

— Sy, -f-6(3j -+-4(3, -l-2p, -nzo,

2(3,C» +4?iC,Ti.:z3(Cî-aPoC,), 2p, -f-4.3, =3(i-2?o).

I/éqiialion dinercntielle correspondante, après suppression du facteur

est de la forme (1), où L, M, N sont des polynômes en y de degrés 2, 4 ^l 3, c/o/i/ /^5 coefficients sont des fonctions rationnelles de la constante arbitraire C|, des deux fonctions arbitraires T| et Poî ^^ <^<^' /e//r5 dérivées ï', , {3J,.

IV. // existe trois solutions remarquables triples. — Soient ^' = 0, y = ij y=:yo pour C = o, C = i, C := oc. L'intégrale générale est de la forme

C»-(A;»H-3Bj'-3Bj-hU-+-i)C-+-(A-hB)r' = o,

et l'équation différentielle correspondante, après suppression du facteur ^''iy — O^î ^^^ ^^ '^ forme

Lj'*— 2My ~hr(y — i)N=io, où

) M = (AB'-hBA'-H2BB')/-B'(A-i-B)-h(y-i)(AB'— BA')(A^'-+-2B/--Bj) (9^ ' ^B(A-+-B)[A>»-^3B>(v-i)-i-B'],

N = ( AB'- BA')(A' v'-f- 3B>«- 3B'j^ -f- B') - B'(A'-f- B').

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. G3

Ici les coefficients sont des polynômes entiers par rapport aux deux Jonctions arbitraires A et B et leurs dériiées premières A! et B'.

9. E^uATio's i>E DKGBK CINQ." — Nous Qvons cjualre cas à dislinguer, siiivanl le nombre et la miillipiicilé des soliilions remarquables.

I. Il existe sept solutions doubles, — Soient o, 1^30, Ti> T^, T3, Ï4 pouf les valeurs o, 1 , 00, C|» (^27 ^^^3) ^\ ^^e bi constante C, Dans l'intégrale générale

les sept coefficients oli, ^/, yy sont liés par les dix relations linéaires (voir ^ 7)

\ /Cr,,C,)=r:o, /a„C,)^o, /(T,,C,)r^o, /(T„C,)=o, /(l,l)z^O, I. Q(T,,C,)---o. cp(T2,C,) — o, 9(T3,C3)— o, 9 (T;, C*)^:: o, 9(1,1) :o,

qui ne seront compatibles que si trois conditions écrites sous forme de déterminant

*, (T„ T„ T3, T^, C„ C„ C3. CO ^ o, a>, r= o, 4>, = o,

sont satisfaites, au(]nel cas les coefficients a,, fi/, vy seront des fonctions rationnelles des T/ et Ci liés par les relations algébriques (6), ou encore des fonctions algébriques de T|, par exemple, etdeCi, C2, C3, C4. Après suppression du facteur y {y — (^ — ^^« )(y — '^^)iy — ^^i)(y — '^ Oî l'équation dilFérentielIc correspondante est de la forme (i), où L, M, N sont des polynômes en y de degrés un, trois et deux, dont les coefficients sont des /onctions ratio\>f.i.i.es des 1\, C/, liés par les relations algébriques (11) et de leurs dérivées.

II. // existe une solution triple et cinq solutions doubles. Il suffit dans le calcul fait au I du § 7 de supposer a, =:= o, d'où deux relations

qu'on écrit sous forme de déterminant. On a, par exemple,

aT,