j/ -h a, )/' -4- a,/' -f- «ij

qui, en tenant compte des relations (i3), est de degré six et de la forme

Les pol}'nomes L, M, N ont les développements suivants :

L=(8Pj(3,-4aty.-3(3;)y«-f-(8a,y,+ 8«,yi-i6(3,p,~9(3î)y + 4(aiyi~(3î), M = (2a,7-Hai)(y;y»4-y;7'4-y;7 4-y;)4-(a;7*-t-a;7)(3y,j»-h2y,v4-y,)

H-(«;y'H-aij)(/s7'-Hy',/*-Hy;j-+-y;),

où les a/, ^1, Yi sont liés par les relations (i3).

ÉQUATioffs DE DEGRÉ ciSQ. — L'équation s'abaisse au degré cinq, s'il existe une solution remarquable double, soit j^ = oc pour C = oo, d'où

(a,7 4- i)C*- 2(P,7'H- Pt7*4- (3,y 4- (3o)C'4- y3/'4- y,7»4- yi r 4- yo = o

avec l'identité

(Pi7'^- Pi v*4- P,7 4- (3o)»- (a,/ 4- i)(y,/»4- y,7«4- y,7 4- /o) = PL>'M7 ^ 0'-

Les relations qui en résultent

2Pt4-3p,i=o, (3Î4-2P,P,— a,y,— 3Pî = o, 2P0P1 - «r/o- yi = o,

2(3oP,4-2p,p,-y,ai— y,4-pî = o, pî 4- 2po(3,- a,y, - y,= o, PJ = yo.

permettent d'exprimer Ys? ^2? YmYo en fonction rationnelle des po» Pu p3>ao, a, C. 9

66 A. CAIIEN.

liés par les relations

(i5) U-îho,^ + p^^t^^oL\J-^i{i + cc,y=o,

I y,= (3,(2?o-3p,)-i-«î(3(3,|3,-a,|3î)--«,Pî-2a,p,|3,-^Pî.

L'équation difTérenlielle a la forme (i3) avec L = 3p,(2p,-3p,)7-4Pî,

M= «, (/,r'+ y',r»+ y',7 + yi) + «', j (Sy.j'' h- 27,7 + y,) + 3|3,|3;(4/ — ^ = «'i/ (yiy' + yiy' + y'.j + yi)

To'T^'T^'T* ci^ïvent être remplacés par les expressions (i6), y'^, v'^, Y2> ïs P^** leurs dérivées; les coerficients de Téqualion différentielle sont donc des fonctions rationnelles des quantités [îo? ?i» ?3> *i liées par la relation algébrique (i5) (et de leurs dérivées), ou bien encore si l'on exprime ai algébriquement à l'aide de ?0ï Pn Ps» ces coefficients sont des fonctions algébriques des fonctions indépendantes Po> P«> p3 et de leurs dérivées.

Equations de uegré quatre. — L'abaissement au degré quatre peut provenir, soit de l'existence de deux solutions remarquables doubles, soit de Texistence d^une solution remarquable triple.

1. Il existe deux solutions doubles, — Soient j^ = oo et j^ = T pour C =oc et C = o. Aux relations (i4) et (i5), il faut ajouter les relations

('7) SysT'-t- 2y,T -h y, = o, y,T*+ ay^T -h 3yo= o,

qui expriment que ^ = T est solution double pour C=:o. Alors, après suppression du nouveau facteur jk — T, il reste une équation (i) où

, -«, y;-l-3(3, (3; -i-2p,(3; + T(4?tP; + 2(3,|3'.- 12(3,3',- «,y',-y.«',)

N= (a,y', + 3(3î- 2^,(3', - p;')^'^. . .4- ^, les a,-, Pi-, Yf étant liés par les relations algébriques (i5), (i6), (i7).

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 67

II. // existe une solution triple. — Soit y=:co pour C=oo. L'intégrale sVcrit

on a, comme précédemment,

et, en posant po = A, on met Tintégrale générale sous la forme

C*-a(8y»-i2/«-h3yH-A)C-Hi6(A-8)/»+3(3--8A)y-^6A/H-A*=o

qui donne lieu à une équation différentielle qu'on peut écrire successivement^ après suppression du facteur^'(^ — i)',

9/»-+- 6(8/«- 87 -h I) Ay 4- A'«= o,