I. — Démonstration de propriétés générales de ces équations
1. Je vais établir deux théorèmes relatifs à la forme de l'intégrale générale et au rôle des racines du discriminant.
Théorème I. — Quand le genre xn de la relation entre les constantes intégrales est égal à un, V équation différentielle se met sous la forme
H(y, ^) , K(y, ic) ...
où H et }f^ sont des polynômes en y de degrés respectifs p — i et p -{- i au plus, en désignant par ^p -h '^ le degré de QR, et X une fonction arbitraire de x.
En efiel, on sait que, dans les conditions de Ténoncé; Pintégrale générale peut
se mettre sous la forme
OÙ le second membre esl une intégrale de différentielle totale exacte. De plus, rintégrale de première espèce (où H est de degré p — i),
r^(y.x)dy
v/QR
n'a que deux périodes, qui sont des constantes absolues (*). Les périodes de J(y, x) étant des constantes, l'intégrale
«<^' " -/ st (vin) "^
une fonction algébrique de^, et, par suite, dans la différentielle totale exacte
la fonction G(^', x) est déterminée à une fonction d'addition près À(x), et d f U \
comme — ( j change de signe avec y/QR, on en déduit immédiatement
que la fonction G, convenablement choisie, change de signe avec v^QR. Posons
v/qS
Comme K ne peut devenir infini, sans que H le devienne en même temps, R est un polvnome en^'; de plus, comme cette dernière remarque s'applique aux valeurs infinies de^, il faut que K soit au plus de degré /> H- i . Il en résulte que l'équation différentielle prendra bien la forme annoncée.
2. Théorème IL — Quand le genre xs de la relation entre les constantes intégrales est égal à un, les racines d'ordre impair du discrimimaist de Inéquation du second degré en y\ définissent en général des intégrales sin- GL'LiÈREs, ou, dans certains cas exceptionnels^ un lieu de points de rebroussement où. y' est infini.
En effet, soit^;=^(j:) une racine de Q qu'on peut toujours supposer égale à
(*) Paixlevé, Leçons de Stockholm, p. 116-117.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 69
zéro, en changeanl ^ ^^ y -^ ê^i^)] supposons que y = o n^annule pas K, on pourra, dans le voisinage dey = o, développer F et G de la façon suivante
G = -r [«(^)H---.] («Mo),
On en déduira
dG - i 1
^^ ' rat/ \ 1
ce qui est impossible, puisque
âa: ~ dy Donc j^ == o annule K, et l'équalion
(1) Hy-4-K-hXv^QR=ro
étant vérifiée poury = o, y = o est solution singulière,
3. Remarque. — Nous avons supposé implicitement que H (y, x) ne s^ annulait pas pour y = g{x)* Si H(j^, x) s'annule poury = g{x), on peut toujours supposer que g{x) ^ o et le raisonnement précédent montre que K s'annule pour y'=iO\y est donc en facteur dans H, R, QR, et figure dans QR nécessairement au premier degré. Si donc on forme Téquation (i), on voit aussitôt que les deux valeurs de y sont infinies pour j^ = o.
II. — Formation explicite des équations de l'espèce indiquée.
4. Problème. — Cherchons à former les équations du second degré eny\ de degré q donné en y y telles que n branches de l'intégrale se permutent autour des points critiques mobiles, et pour lesquelles le genre xn de la relation entre les constantes intégrales est égal à un.
Nous nous donnons un nombre pair 2/? 4- 2, degré de S = QR, avec les inégalités 2/> -h 2 ^ a^ — ^^ p'^q — 3, et nous cherchons, parmi les intégrales de
première espèce,
VL{y,x)dy ^
toutes celles qui se laissent déduire, par une transformation d'ordre /i, d'une diiTérentielle elliptique, par exemple de
dy
^2 désignant une constante numérique.
Étant donné le radical
si nous posons
M et N étant des polynômes en y de degré /i, pour qu'une telle égalité définisse une correspondance avec un radical de degré 2/? -\- 2, il faut et il suffit que
l'expression
(M«-N«)(M«— fjL«N*)
renferme en facteur un carré parfait en j', de degré 4^ — ^P — ^-> J'où 2/1 — p — i conditions portant sur les 2/1+1 coefficients inconnus de f{y)' Donc, une fois [JL^ donné, il reste /? + 2 coefficients indéterminés, à Taide desquels les coefficients de S (y, x) s'expriment algébriquement.
D'autre part, la difTérentielle abélienne de première espèce
correspondant à la différentielle elliptique
dy
et qui est connue, une fois qu'on s'est donné Gp(j^), dépend algébriquement de /? + 2 fonctions arbitraires de x et de la constante arbitraire a. Il en résulte que la différentielle totale exacte
où X est une fonction arbitraire de or, dépend algébriquement de /? -+- 3 fonctions arbitraires.
0. Le degré de l'équation différentielle, mise sous forme entière
H*/» -h 2 HK j' 4- K' - X» S = o,
FOUMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7I
étant ip-k- 2, pour qu'il se réduise à q, il faut et il suffit que les deux poljrnomes
H et K« — X«S
aient un facteur commun de degré 2/? -f- 2 — q\ et comme H est de degré p — 1 , il en résulte que, pour une correspondance avec un radical de genre p^ le degré q est au plus égal à 2/? 4- 2 et aw moins égal à ;t> -+- .J.
Supposons d'abord que H et K n'aient aucun facteur commun, alors tout facteur commun à H et K^ — X^S est une solution remarquable àe Y é(\w9i\.\oti différentielle, c'est-à-dire qu'il annule les coefficients de dy et dx dans la différentielle totale
De plus, si j^ = g{x) est un zéro d^ordre a commun à H et K^ — X*S, ^ = g{x) est un zéro d'ordre a 4- 1 de l'égalité
Co = J(7i-^)i
Co étant une constante convenable.
Donc, dans ce cas, pour qu'il y ait abaissement du degré de l'équation (1), il faut qu'il y ait des solutions remarquables, et le degré q de l'équation (1) est lié au degré 2/74-2 du radical Sel au nombre p des solutions remarquables de multiplicité a,, par la relation
çr = 2/?-h2— ^(a, — i).
Toutes ces propositions s'établissent par le même procédé que celui que nous avons employé au Chapitre III. Il suffit de répéter presque identiquement les mêmes raisonnements.
Mais dans le cas où H et S ont s solutions communes, ces s solutions ne sont pas, en général, intégrales remarquables de l'équation, et, pourtant, d'après une remarque faite plus haut, leur présence abaisse de s unités le degré de l'équation.
11 est clair qu'on aura la solution la plus générale en supposant que l'abaissement provient uniquement de l'existence de solutions remarquables d'ordre deux. Car on aura ainsi autant de conditions qu'il y a de degrés dans l'abaissement, chacune de ces conditions introduisant une constante arbitraire.
De plus, dans ce cas, comme il n'y a pas de lieu de points de rebrousse ment, Q = I et, par suite, S = R; on aura de cette façon 2p -{- 2 — q relations de la forme
(S) Cp^J(7p,^),
j^p étant une racine de H(^, x) =o {q ^p 4- 3). On trouve ainsi 2/? 4- a — q constantes arbitraires.
6. En définitive, n et q étant donnés, pour avoir les équations (i) les plus générales correspondant au cas dem^: i, on prendra successivement tous les systèmes d^entiers positifs /, p satisfaisant à la relation
(a) 2<7 — 4 = 2t-h2/?-4-a ou q = i -hp-h ^,
Soit f, p un de ces systèmes, les équations (i) correspondantes dépendront de
fonctions arbitraires et de 2/? --h 2 — q constantes arbitraires.
Il y aura autant de tjpes d'équations ( i ) qu'il y a de modes de décomposition du nombre q — 3 en une somme de deux entiers positifs 1 et p.
