PRÉCÉDENTE

7. Nous avons dit que Tintégrale / -y-- et la transformation de passage

Y =z <f{y) = Tirf-i dépendaient algébriquement de p -\- 2 fonctions arbitraires,

et nous avons admis implicitement que, dans le cas le plus général, H a ses racines 5</?i/>/e5y que H et R n'ont pas de facteur commun et enfin que les conditions (S) étaient compatibles et déterminées. Examinons successivement ces différents points.

8. Objections I et II. — Le polynôme H a toutes ses racines simples et les deux polynômes H et JX n'okt pas de facteurs communs.

Voici une démonstration rapide de ce fait qui rentre dans Tétude de la réduction des intégrales hyperelliptiques .

Si nous laissons arbitraire le degré n de la transformation, il faut et il suffit que les premiers membres des relations ((7),

(ff) ^^.,„ v^

Hdfy

\ *Viv(') V^^

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 'j3

où ntij rii, m-ii n^^ •..) ^^2/1; ^2p sont des nombres rationnels quelconques, soient des fonctions indépendantes de 3/? -f- 2 coefficients distincts.

Pour X = Xo^ choisissons arbitrairement les valeurs de ces coefficients et, par suite, des seconds membres, et soient a«, a2, ..., a2p les valeurs des seconds membres. Nous pouvons toujours disposer des nombres rationnels my, n^ de façon que les quantités /«« tO| + /ii co^, /n2tD| 4- /la^a, ..., /Wj^Wi -4- /la^Wa dif^ fèrent aussi peu que l'on veut de a^, aj, . . . , n^p-

Donc, pour ^ = Tq et pour ces valeurs des my, n^, les conditions (<r) sont vérifiées par un choix des coefficients de H et R aussi voisins que Ton veut des valeurs initiales choisies arbitrairement ; et, par conséquent, pour x = Xq^, H et R satisfaisant aux conditions ((t) ont des racines simples et n'ont pas de racines communes, a fortiori pour x quelconque (sauf pour des valeurs exceptionnelles de x).

9. Objection III. — Les relations (S) sont compatibles et déterminées.

Pour écrire qu'il existe 2/? H- 2 — q solutions remarquables d'ordre deux, il suffit d'exprimer que pour les 2/) H- 2 — q fonctions distinctes yi{x), J2{^)y ••mJK2;>+2-^(^), on a

Cl —J{yt,x) =Ji(j7),

Les 3i{x) sont des fonctions transcendantes de /? 4- 3 fonctions arbitraires de X.

Si les relations (S) ne sont pas compatibles et déterminées, c'est qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, est identiquement fonction des autres, autrement dit que les 2/? -4- 2 — q — i premières racines de H ne peuvent donner à 3 (y y x) de valeur constante, sans qu'il en soit de même de la racine suivante, et, par suite, de toutes les autres par raison de symétrie. Alors le degré irréductible de l'équation est nécessairement égal à /? -H 3.

D'autre part, l'équation différentielle primitive de degré 2/? + 2 s'écrivant

(H/4-K)»-X*R=o, et son intégrale générale étant de la forme

^=sn[/x(.)rf. + c].

on voit que si l'on écrit qu'une racine de R := o est une intégrale ordinaire, C. 10

74 A- OAHEN.

X = o, et, par suite, l'équation se réduit à

C'est une équation de Riccati, qui dépendrait ici d'au moins quatre fonctions arbitraires. 11 y a donc contradiction et, par suite, les conditions imposées sont compatibles et déterminées.

10. Objection IV. — Le degré de l'équation dijfférentielle correspondant à l'intégrale précédente est bien, en général, égal à y, et non moindre que q.

En effet, s'il s'abaissait, c'est qu'il existerait d'autres solutions remarquableSy car, pour x = ^r©, les constantes C étant quelconques, H et R n'ont pas de solution commune en j/-; il n'existe donc pas de fonction y ^= Si^) an'ïul^nt identiquement H et R.

11 suit de là que, si les ip-\-2. — q conditions (S) entraînent comme conséquence qu'une nouvelle racine de H est solution remarquable, il en est de même de toutes les autres racines de H, et le raisonnement s'achève comme dans le cas de tïj = o. (Chapitre III, § 8.)

Objection V. — L'équation en y' est bien irréductible, du second degré et de senre p^\. Autrement la différentielle abélienne — :=r s'exprimerait ration-

nellement à l'aide d'une constante d'intégration, ce qui est absurde.

Objection VI. — L'intégrale a bien exactement n branches permutables autour des points critiques mobiles, et non un nombre moindre.

En effet, sapposons que le nombre de branches, au lieu d'être n, s'abaisse k n^(n' <C n), en supposant /i'>i.

Le raisonnement fait dans le cas de ut=o montre alors que les constantes remarquables ne seraient pas distinctes, ce qui est contre l'hypothèse.

D'autre part, si /i'= i , l'équation est nécessairement de degré q = i et toutes les racines du discriminant sont des intégrales singulières.

Si donc on excepte ce cas de y = 4? A* = 4? on est certain que n est bien le nombre des branches de^(:r) permutables autour des points critiques mobiles.

Si, au contraire, 5^ = 4> ^= 4> l'intégrale obtenue plus haut se réduira à une intégrale k points critiques fixes, quel que soit l'entier n.