Nous arrivons donc aux conclusions suivantes

Conclusion. — Si, dans l'intégrale que nous avons appris à former, on donne

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7 5

aux conslanles des valeurs arbitraires distinctes, el si ron remplace les fonctions par des fonctions arbitraires quelconques, Tinlégrale ainsi définie vérifie une équation différentielle du second degré en y\ de genre ^^2, prend exactement n valeurs autour des points critiques mobiles et correspond au cas de m = i.

L'équation différentielle correspondante est de degré q > 4f dépend de i -h i fonctions arbitraires et de 2/> -h 2 — q constantes arbitraires, en comptant la constante |jl; car on peut toujours supposer qu'une des constantes remarquables est o, en observant qu'on peut toujours effectuer sur C une transformation algébrique dépendant d'une arbitraire et d'une seule, et qui conserve la courbe

C*=(l-C*)(l-fJL«C').

Remarquons enfin que si p = i, comme gt est égal aussi à un, l'équation a nécessairement ses points critiques fixes et, par suite, ^r = 4, A" = 4»

Inversement, si ^ = 4? p est nécessairement égal à un (à moins qu'il ne soit nul, auquel cas n serait nul également) l'équation a encore ses points critiques fixes, et R est égal à 4»

Nous voyons donc que, si l'on prend y = 4, le cas de tn = i ne peut se présenter que si /2 = 1 . Si, au contraire, 9 >> 4i on formera une infinité d'équations correspondant à ts-=-\, n étant quelconque et plus grand que un, et ces équations dépendront, comme nous l'avons dit, de i -\- \ fonctions arbitraires et 2/? 4- 2 — q constantes arbitraires.

Si toutefois 2/> -h 2 — gr = o, on aura une seule constante arbitraire, la constante pi.

IV. — Comparaison avec la forme olQ} — 2(30-+- y = de l'intégrale