Revenons maintenant à la forme (4) aC*— 2(3C-hy = o

de l'intégrale générale, où a, [3, y sont de degré n en y.

Dans le cas de gj = i , /i est toujours pair, soit n = 2v. Cherchons donc, q étant donné, ainsi que n pair et égal à 2v, parmi les équations {^) la généralité de celles qui correspondent àxs= \.

Tout d'abord ces dernières équations ne peuvent se rencontrer que dans la classe qui correspond ày = o et, par suite, à k pair, soit A' = 2/> -f- 2. Nous savons que les équations (4) de cette classe dépendent de i-\- ^ fonctions arbitraires et 2/1 — q -\- k^^'^n-^- q — 4 — ^i constantes arbitraires, qu'il faut diminuer

de 3 si ce dernier nombre est supérieur à 3, et remplacer par o dans le cas contraire.

Nous venons de voir, d'autre pari, que q étant donnée ainsi que p^ le cas de m-=. I nous a conduit à une forme d'équation différentielle, dépendant de / -4- 4 fonctions arbitraires et 2/? H- 3 — q constantes arbitraires.

Nous avons donc, dans le premier cas, an — q -{- k — 3 — (2/?-f-2 — y-f-i) constantes de plus que dans le cas de w=i, c'esl-à-dire, comme /r=2/?-f-2, 2/ï — 4 constantes de plus.

On voit donc que, pour la solution générale, on a 73 = 0, comme nous le savions, et, pour que tjs soit égal à un, il faut que les constantes arbitraires, qui figurent dans chaque solution correspondant à y=o, soient liées par 2/î — 4 conditions. 2/1 — 4 > o, à moins que n, qui est pair, ne soit égal à 2.

Si n = 2, on trouve le même nombre de constantes qu'en supposant tîj = 1. C'est le cas qui correspond aux équations à points critiques fixes; on a, en effet, ^ = 4 2ivec quatre solutions singulières.

12. Éludions de plus près la nature des ^n — 4 relations dont nous venons de parler, en formant directement l'équation (4) correspondant à une relation de genre un.

L'intégrale générale, en remplaçant snC par G et sn / X(j:)rfa: par — X,

prend la forme

MNv/(i--X^)(i^(x»X«J4-Xv/(N'— M»)(N'->-p.«M«)

N»-fx«X»M»

ou

(N'-fx*M«X»)C«-2v^(i-X«)(i'-fx«X«)MNC + N«-M«X* = o; on a donc

l3=:MNv/(i — X«)(i — /JL«X»), y = N*-M«X».

Formons l'équation différentielle correspondante

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 77

On a f en posant X'= ^ \

dx )

1 / à'/ ^ âa

2 V âx ' dx

= MN (^N ^ - M j^ (I - fx»X^) - \X'(N*- fjL^M*)

^^j:" ' dx

■(H-fx')XX'+2fx«X'X'

(N»-jjL«M»X»)MN

v/(7^Xi)(i-fx*X')

+ V'(i — X»)(i-f*»X«)MNQ/ji»M«XX'

v/(.-X')(.-fx'X«)(N^-M^)(M» + M'N'X')

-t- XMNX[(N«- ,x'M»X«)(2fii'X»— I — p«) + (i — X»)(i - //»X')qjjl«M'],

— oMNi/(. — Y«)(.-,.«Y«)N«X\'-i-MNrM'-\«Y»)!-! jrji ^^^ ^^* ^ ^-^

V'(i-X«)(l-/Ji'X')

-MNXX[N'(i-X')(i-fx'X')-i-(M«-N»X»)(2fx'X'-i-fx')].

De même

«^-P|=v'(T^^')(.-f*'X«)(N^-M|)(M'+fx.N«X').

|3^y^ = fN^-M^VM'+N«X«)v''(7^ÔC^

On oblienl ainsi l'équation difTérentielle

= X»[M*(i — fii»X')-i-N»(X»-i)][[i'(i — X')M*-i-(f*«X»— i)N']

- (.-X'H.--F'X») ^^^'-^'^^'^'-^'^'4 Le facteur indépendant de j^ peut s'écrire

Il résulte de ce calcul que 4-i, — i, H — > sont des valeurs remar-

quables de la constante, rendant carré parfait le premier membre de Téqua lion (4), et donnant lieu, par conséquent, à un abaissement total de degré ^n L'équation difTérentielle correspondante, de degré 4/2 au plus,

N^-M— "1 '-hN— -M— r

(T^TxîKTiriprxTjt^N'- M')(N'- /^'X.] = o.

n'est autre que l'équation formée au début de ce Chapitre et pour laquelle

\dx)

(i-X»)(i-fx«X^)

13. Ces conditions, qui sont nécessaires pour que xs soit égal à un, sonl sujfisantés en général, c'est-à-dire, pourvu qu'aucune des intégrales remarquables

correspondant aux valeurs — i, +i, H — > de la constante n'annule en

même temps le discriminant p*^ — ay.

En effet, considérons l'expression

cl, supposons qu'on y remplace C en fonction dey, c'est-à-dire, si l'on veut, C en fonction rationnelle àe y' ^ y {x figurant comme paramètre).

Je dis que le radical ainsi formé est une fonction rationnelle dey^^y.

S'il en était autrement, c'est que p, considéré comme fonction de y^ admettrait

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 79

un point critique y = g(^)^ tel que, poury = ^, C fût égal à liz i ou dz - » soit,

par exemple, C = i .

Posons C — i = G] l'équation entre G et y étant carré parfait pour C'= o, on peut l'écrire sous la forme

«,C'«-2(3.C'H-(y-^-)«'yî = o [71(^)^0],

?i{yy^) ^® s'annule pas pour j' = ^(j?), sans quoi la solution remarquable y = g(x) annulerait en même temps le discriminant ^^ — ay de l'équation

aC*— 2pCH-y = o.

Dans le voisinage de ^ = ^, la racine C, qui s'annule avec j — g^ est de la forme

et, par suite,

p = (y--^)'BH-...,

B étant holomorphe dans le voisinage de y = ^.

p est donc rationnel en (^, y)\ le genre de la relation entre les constantes intégrales est donc au moins égal à un, et, comme il ne peut dépasser un, il est

EXACTEMENT ÉGAL à TN.

V. — Formation explicite des équations a deux branches (w = i).