Partons de la difTérenlielle elliptique
du
V/(l— m')(i — fJL*W*)"
On peut toujours, moj^ennant une transformation homographique effectuée sur j^, admettre que la transformation d* ordre deux est de la forme
Ay*-i-B
Nous avons deux cas à distinguer, suivant que l'équation différentielle possède huit ou six intégrales singulières.
I. Il Y A HUIT INTÉGRALES SINGULIÈRES. — Lcs équatious Correspondantes sont de degrés 8, 7 ou 6.
I® Equations de degré huit. — Les fonctions A., B et X étant arbitraires,
8o A. CAUEN.
l'équation diflerenlielle de degré 8 a pour intégrale générale
OU encore, si Ton fait le changement simultané de fonction et de constantes
snC = C', sn / X (^)t/a: = — X, A > - -h B X v/(7^=^^^)(i-fx«C») + CV(i-X«)(i-jUL'X*)
d'où
^>.«[(7«4-i)*-(Aj«-+-B)«][(;.«+i)«-fx«(A7«-l-B)«], ou
On obtiendra l'équation la plus générale de degré 8, en remplaçant y par
-rç, 7^> OÙ A, //|, A"| sont des fonctions arbitraires de x, et les coejjicients de
celle équation seront ainsi exprimés rationnellement à V aide de six fonctions arbitraires de Xj et de leurs dérivées,
2** Équations de degré sept, — Écrivons que^ = oo (qui est une des racines du coefficient de ^'^ dans l'équation précédente) est solution remarquable, pour (] :=zz o, d'où
B^snf A(^)l =X.
Dans l'équation (3) le lerme indépendant de ^ s'abaisse au septième degré, et Téquation différenlielle devient
= "' [(j'+,)'-(A7'+B)'][(7«+i)'-fx'(Ay'+B)'],
V/(i — B«)(i -fx'B')
et se réduit au degré sept.
3" Equations de degré six, — Écrivons, en outre, que ^ = o est solution remarquable pour la valeur C| de G (où C, de C'= snC), d'où
(5) A=sn[/x(.)^.+c;j:.»v^('-^-^)('-^;^p^rB?i:f ~^'^^^
FORMxVTION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 8l
LMquation devient alors
(6) 4(A-B)V/'-h4(A-B)(7«4-i)(A'7«+B')/ + j(ay^-h(37»4-...) = o,
a, ^, ... étant des coefficients dont je n'écris pas les expressions développées et qui contiennent rationne lie ment A, B et leurs dérivées A', B'; A doit être remplacé, en fonction deB, au moyen dé la relation (5). Lorsque, dans (6), on remplace j^
par -rr? T^i A, A|, A: étant des fonctions quelconques de x, on obtient l'équa-
tion la plus générale de degré six avec huit intégrales singulières. Elle contient rationnellement les trois fonctions arbitraires A, A«, /: et algébriquement la fonction arbitraire B et la constante arbitraire C| .
II. Il y a six intégrales singulièhes. — Les équations différentielles correspondantes sont de degrés 6 et 5.
I® Équations de degré six. — Dans ces conditions, Texpression
[(j,.^,).^(Ayî+B)]«[(7«4-i)«-|x«(A7' + B)'] contient, en facteur, le carré d'une fonction linéaire, d'où
(,A«)(i — ]ui*A*)(i — B*)(i-B»fx«) = o.
Soit, par exemple, B = + i . L'équation différentielle devient
[2(A--i)/H-(y4-i)A']«-X«(i-A)[y«(i-hA) + 2(i--A)][(y--+i)«-,x'(A7*-t-i)»],
et l'équation la plus générale de cette espèce contient rationnellement les deux fonctions arbitraires A, X, les trois fonctions arbitraires A, A|, k de la transformation homographique, et les dérivées A', A', A',, k'.
2** Équations de degré cinq, — Écrivons que^=oo est solution remarquable pour C = o, d'où
A =:sn I 1 X(d:) dx 1,
V^(i-A«)(i-fx'A«) 4(A-i)/*-^4(A'-i)7(y«-M)/ + ... = o.
L'équation la plus générale, où l'on a remplacé y par sa transformée homographique, contient rationnellement les trois fonctions A, A|, A-, leurs dérivées premières et contient algébriquement A et A'.
