I. — Equations a coefficients algébriques
1. Dans le cas où la relation entre les constantes intégrales est de genre zéro, l'équation
(3) L7'*-2M/-hN = o se ramène à une équation de Biccati
au moyen de la transformation
(5) «iM*— 2p,a + )/, = o,
«o ^1, Y< ^^3i"t d^s polynômes de degré n en y^ dont les coefficients, ainsi que L, M, N, sont des fonctions algébriques des coefficients de (3) et, par suite, des fonctions algébriques, si les coefficients de (3) sont algébriques.
Soit donc à déterminer explicitement toutes les équations (3) de degré q DONNÉ en y, et à coefficients algébriques dont V intégrale générale ne prend
qvHun nombre donné n de valeurs (n'^j\ autour des points critiques mobiles.
2. Nous devons distinguer quatre CdiS^ suivant que le nombre de valeurs remarquables de la constante est au moins égal à 3, égal à 2, i ou o.
1® Il y a au moins trois constantes. — L'équation de Riccati (4), ayant trois
intégrales particulières algébriques, a son intégrale générale algébrique et, par
suite, dans
aC— 2pC-4-y = o,
les coefficients sont eux-mêmes algébriques. Il suffira donc, dans le problème général résolu au Chapitre III, d'astreindre les t *+ 4 fonctions arbitraires à être algébriques; l'intégrale générale de l'équation (3) est alors elle-même algébrique.
2^ Il y a deux constantes remarquables. — On peut toujours admettre que
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PBEMIER ORDRE, ETC. 83
ces valeurs remarquables sonl o et oo, et que l'équation (4) se réduit à
du ^
dx
On a la relation
k désignant le nombre des intégrales singulières, /|, /^ le nombre dMntégrales distinctes y ^=^ g{x) pour C=oetC = ao.
L'intégrale générale a pour expression
avec
par suite *
(6) Pî-«,y.= p»-«y = n'Q»R,
avec
yx = Hy — g\ Y'^y — gtY'- -iy — giY'
Les nombres
sont deux systèmes d'entiers quelconques positifs vérifiant la condition
/i = Cj -f- e, -H ...-+- «/— ei+i -t- . . . 4- e^f,\
de plus, M, A, gs^ g%. . .., gtt ge^iy .•., gg-k et les coefficients de p sont des fonctions algébriques. Les coefficients de n, Q, R sont donc eux-mêmes des fonctions algébriques, d'après (6).
On pourra exprimer, par exemple, que le polynôme de degré 2/1
admet q — k racines gy de multiplicités Ci, «2» • • •» ^^j ^i+p • • •? ^'q-ky ^^^^
^{et— i) = 2n -h q — k, conditions algébriques qui réduisent à
le nombre des coedBcients arbitraires. Les fonctions g s'expriment algébrique^
84 A. CxVHEN.
ment, à l'aide de ces coefficients arbitraires ; et, si l'on désigne par M une fonction algébrique quelconque, on pourra poser
y ■= Ae-J'"^*(7 — ^i)^' . . . (/ — gtY^, et l'équation correspondante dépendra de
fonctions algébriques arbitraires.
Si j > Âr, on pourra prendre comme fonctions algébriques arbitraires les
9 — Â 4- 2 fonctions ^, M, h et ^^^ des coefficients de Q, R par exemple, et
les coefficients restants s'exprimeront algébriquement à l'aide de ceux-là et de leurs dérivées.
3° Il y a une seule valeur remarquable, — Soit C:=oo. L'équation de Riccati ramène alors à une équation linéaire; soit
dœ De plus
^ = l-\- n -HA-,
/ désignant le nombre de racines distinctes en j^ de a = o. On a
a — «1 P — y > y — ji ,
et par suite
P«— ay=:(3J — a,yi = n»Q»R.
On exprimera que le polynôme de degré in
Pî — n«Q»R
admet que q — k — n = l racines distinctes g\^ g2j • - '^ gi ^^ multiplicités on posera
<xi = (y — giY^ ' "{y — giY'
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 85
et les équations cherchées s^obtiendront en remplaçant dans u par
K et P étant algébriques.
On prendra comme fonctions algébriques g^^ g^^ . . . , g^/, K, P cl /i h —i-
autres fonctions parmi les coefficients de Q, R, et les autres coefficients s'exprimeront algébriquement à l'aide des précédents et de leurs dérivées.
4° // «y a pas de valeur remarquable, — La formule fondamentale se réduit à
^ =1 2/1 -4- Ar.
Soit
Pintégrale générale de l'équation de Riccati (4)} on a
Les coeilicients de II, Q, R sont àes fonctions algébriques. On décomposera le polynôme
Pî-n«Q»R,
dont les m +y + A* -h /i -|- 2 coefficients sont algébriques, en un produit de deux facteurs a^, yi de degrés /i, dont les coefficients sont des fonctions algébriques des m-^-j -h A" 4- /i 4- a fonctions algébriques précédentes, et l'on remplacera dans l'équation
a, a*— 2(3iM -+-y, = o
ainsi obtenue, u par l'intégrale générale de (4), où H, K, P sont algébriques,
3. Dans les trois derniers cas que nous venons d'examiner, le nombre des valeurs remarquables étant inférieur à 3, l'intégrale générale est transcendante, quand on prend au hasard les fonctions algébriques, coefficients de Véquation de Riccati (4).
Ainsi, dans le cas où il y a deux valeurs remarquables, pour que l'intégrale
soit transcendante, il faut que la fonction w(x), définie par — = K(j:), ne soit pas algébrique, ce qui a lieu si K(^) est pris au hasard,
