Proposons-nous maintenant le problème suivant
86 A. CÂHEN.
Former toutes les équations (3) de degré q donné, won iktégrables algébriquement, dont l'intégrale générale est une fonction qui ne prend qu'un nombre Jini (non donné) de valeurs autour des points critiques mobiles.
Ici le nombre des valeurs remarquables de la constante est nécessairement
inférieur à trois.
La relation
montre que n satisfait aux conditions
1" // n'y a pas de constante remarquable, — Dans ce cas il n'y à pas de solutions remarquables; par suite X = o, et n est limité par les conditions
on est donc ramené au problème suivant, déjà résolu :
Former toutes les équations de degré q (q^ 4) y possédant q — 2n^ intégrales SINGULIÈRES ct dont l'intégrale prend n^ valeurs autour des points critiques mobiles, nx étant Vun quelconque des entiers vérifiant la condition (7).
Par exemple, dans le cas de 9 = 6, on voit immédiatement que /i| ne peut
prendre que les valeurs 2 et 3, et Ton est ramené, par suite, aux deux problèmes
suivants :
/i = a, A: 1=2, j = Oy
nz=z3, k = o, j=2,
que nous traitons, d'ailleurs, tout au long dans nos applications (Chap. IV et V).
2^* Il y a une seule valeur remarquable, — Soit C = 00. Considérons un système quelconque d'entiers positifs /|, /ii, k^ satisfaisant à l'égalité
Le problème revient à former les équations de degré q possédant q — l\ — n^ solutions SINGULIÈRES, ct dont V intégrale a n^ branches. Posons
avec
«1 4- a, -h . . . -i- fl/, = /11.
On obtiendra toutes les équations correspondant à ce choix particulier d'en-
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 87
liers, en donnant aux entiers ai, a^, . . .^ ai^ toutes les valeurs positives possibles vérifiant l'égalité précédente; on obtiendra ensuite toutes les équations possibles correspondant .à ce cas, en épuisant les systèmes d'entiers li^ n^f k^ en nombre fini vérifiant Tégalité
Dans rhypothèse où la constante remarquable C = oo correspond à une seule solution remarquable d'ordre deux, l'égalité précédente se réduit à
<7zz 2/i,-i- Al— 2 si /ij > a
et
7 = 4-4-^1—1 si «1=2 (/:, £4)-
Par exemple, si 7 = 6, on se trouvera dans l'un des trois cas suivants :
nz=3, /= I, A" = 2, / = o, niz=z2^
il=i, A = i, y=i, m = 2, [1=2, A' = o, y = o, m =z t.
3** Il y a deux valeurs remarquables, — On ne peut plus déterminer d'avance de limite supérieure de /i, sauf dans le cas que nous allons considérer tout d*abord, où, à chaque valeur remarquable de la constante, correspond une seule solution remarquable d'ordre deux. Dans ce cas, de la relation
7 = 2/1-1- A' — 2 on déduit
et l'on est ramené à un nombre y?ni de problèmes connus.
Dans le cas où les solutions remarquables sont en nombre quelconque et de multiplicités quelconques, n peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on veut. Il suffit de se reporter à ce que nous avons dit pour les équations à coejjlcients algébriques, quand il y a deux valeurs remarquables de la constante, pour avoir une solution quelconque du problème.
5. Enfin, il est bien évident que nous venons de résoudre en même temps le problème suivant :
Former toutes les équations de degré q do«né, à coefficients algébriques, dont V intégrale est une fonction transcendante qui ne prend quun nombre fini (non donné) de valeurs autour des points critiques mobiles.
88 A. CAIIEN.
IL — Équations algébriques es y\ j, L/*-2M/-hN=o,
DONT l'intégrale GÉNÉRALE EST DE LA FORMK
«C*— apC-hy = o,
a, (3, y ÉTANT DES PRODUITS DE LA FORME Xn Xs, . .., Xa étant des constantes NUMÉRIQUES DONNÉES.
6. On peut toujours supposer que l'on a divisé le premier membre par a et, par suile^ que a ^ i ; soit donc l'intégrale générale
(I) C«-2yi,(x)(7-G0»*'...(/-G;„)»*«C-HA(^)(7-^,r'...(7-^„.r- = o.
L'expression
dC (.r> x)
peut s'écrire
où H est une fonction rationnelle de y', y^ puisque l'équation différentielle dont (i) représente l'intégrale générale est algébrique eny\y.
De plus, la fonction algébrique H {y ^yj x)^ H (y, a:), qui possède les m' pôles gi{^)j g2{^)i • ' •; gm'{^)j est racine d'une équation du second degré, dont les coefficients sont des polynômes de degré m' en y.
Formons cette équation. Posons
S est un multiplicateur de dy — y dx.
De plus, en différentiant par rapport ky, on obtient
d'où les deux équations
C*— 2pc-r y = o,
SC.-(pS.,ffi)c^|=o.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 89
Par suite, S est racine de Téqualion
on
yd}^^ y(-/-|5'') -'
qui, résolue en S, peut s'écrire
I ày 2 d^
Pour que S soil algébrique, il faut el il suffit que ^ soit rationnel en y, c'est-
à-dire que si yz=f(^x) figure dans y à la puissance X et dans ^ à la puissance |x, la différence 2|jl — X soit un entier positif ou négatif; en sorte que l'on >oit immédiatement que Tinlégrale sera de la forme
Ci=(7-ô-,)^'...(/-a-«)^''(A4-Bv/H),
X|, Xo, . . . , Xrt étant des constantes numériques et A, B, H des polvnomes en y. Si A est de degré/? H- i, Pemploi de la transformation homographique montre que Ton peut toujours supposer
7. Inversement, si Von se propose de former toutes les équations de dkc;ré q en y^ du second degré en y', dont l'intégrale générale est de la forme (2), oii X|, X2, . . . , X„ sont des constantes numériques donisées, on remarquera que
ces équations admettent un multiplicateur rationnel en j^j V^^ ^^ '^ forme
y — gx y — gn A -+- B v^H
On peut toujours vérifier algébriquement si une telle équation admet un multiplicateur ALGÉBRIQUE dc ccttc fonïie, où n el p sont donnés,
SUl en existe au moins deux, leur quotient est une intégrale première dc Péquation différentielle et, par suite, Tintégrale générale acquiert un nombre FINI de valeurs autour des^points critiques mobiles. C'est le cas que nous a\ons étudié dans les Chapitres précédents.
Pour se trouver dans le cas où l'intégrale générale est de la forme (2), mais C. 12
CJO A. CAIIEN.
n'est pas réductible a la forme rationkelle, il faut qu'il n'y ait qu'wn seul nuilliplicaleur, et, par suite, toutes les formes (2) de l'intégrale s'obtiendront en remplaçant C par /C*, l el b désignant des constantes numériques.
8. Donnons seulement une idée rapide du problème actuel, qui se traite absolument de la même façon que les problèmes précédents. Supposons B^i pour simplifier les calculs.
L'équalion différentielle correspondante esl
2A— - — àU^,,âK ^1 . ^« <^y àr , dy
-7-«i y — ffn 2(A»-H) 2v/H(A» — H)
hff ^n/n ^ ^^ àjc âx dx ây
