M'-LN = P«QR

P, Q, K étant trois polynômes de degrés «, y", k liés par la relation

l'équation Q = o (de degré y) désignant le lieu des points de rebroiissement, et Téqualion R = o (de degré Ar), les intégrales singulières,

La relation (4) est, par hypothèse, irréductible en y et C, sauf pour certaines valeurs exceptionnelles de C et, en particulier, pour les valeurs C = Cr (nécessairement en nombre yîni), dites valeurs remarquables de la constante, et telles que Téquation (4) admet, pour C = C^, quel que soit x^ des racines multiples y = gr{x)^ dont les ordres de multiplicité ary brj . . ., ^r sont liés au degré q de Téquation différentielle par la relation

(a) ^ = 2/i-hA-— ^LC^r— i)-+-(^r— i)-+-...4-(e;.-^i)] (>).

Ecrivons que Téquation (3) possède y courbes y =g(x) lieux de points de rebroussement, /: intégrales singulières eip solutions remarquables

respectivement dWdres ai, ^2, . . •, a^, avec la condition

ai — iH-a, — i-+-...4-ap — i=i2/t-f-A — q,

nous obtenons

2n-h k — q -^ij -^ n

conditions algébriques; et, si toutes ces conditions sont compatibles, Féquation diflTérentielle dépend de

fonctions arbitraires et de p constantes arbitraires. Par suite, à tout choix des entiers positifs i,j\ A", satisfaisant à l'égalité (6), correspondent un nombre fini de systèmes de conditions algébriques entre les coefficients de l'équation (4).

Chacun de ces systèmes définit une équation (4) dépendant de 1 -h ^fonctions arbitraires el d' un certain nombre de constantes arbitraires, égal au nombre des solutions remarquables.

(») P. PAiNLBvé, Leçons de Stockholm^ p. 167.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 9

Ce nombre atteint son maximum in -{- k — q^ quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux,

8. Dans ce dernier cas, qui peut être considéré comme le plus généraly nous faisons la discussion complète des conditions algébriques correspondantes, et nous montrons :

i'* Que les conditions précédentes sont compatibles et DÉxEaMiNÉEs;

a" Que V équation (/{) ainsi obtenue en y y C est irréductible;

S^ Que Inéquation différentielle (3) correspondante {dont le degré est au plus égal ù q) est exactement de degré q\

4" Que le nombre des branches de l'intégrale, permutables autour des points critiques mobiles, nombre qui est au plus égal à n, est bien égal à /i,

et que, par suite,

3° Le GENRE va de la relation entre les constantes intégrales est nul.

La question posée au début est donc résolue dans le cas de T9=r o, et le tvpe le plus général des équations (3) dépend de /-f-4 fonctions arbitraires et de 2/Î-+-A' — q — 3 constantes arbitraires (*) distinctes, i élant le nombre des racines doubles du discriminant M* — LN de Téquation en j/-', et /f le nombre des intégrales singulières distinctes,

9. Si l'on passe au cas où le genre m est égal à un et si Ton recberche d'abord directement les équations (3) correspondantes, on remarque qu'il n'y a pas, en général, de courbe Q = o, lieu des points de rebroussement (*), et que l'équation R = o (de degré 2/> + 2) désignant les intégrales singulières, l'intégrale générale est donnée par la quadrature de différentielle totale de première espèce

OÙ )^(a:) est une fonction arbitraire de x^ et' où les polynômes H (y, o?), lv(^, o.*), R(y, a:) dépendent de p -^ 2 /onctions arbitraires et d'une constante

(1) Le nombre 2/14- A* — q des constantes arbitraires distinctes peut être réduit à in-^k — g — 3 {ce dernier nombre devant être remplacé par zéro, s'il est négatif), parce que toutes les formes (4) de l'intégrale générale se déduisent de l'une d'entre elles

par le changement de C en ^ -> X, (ji, p désignant des constantes numériques,

(*) Dans quelques cas exceptionnels, on peut, cependant, rencontrer des lieux de points de rebroussement, pour lesquels les deux valeurs de^' deviennent injlnies.

lO A. CAHEN.

arbitraire [x, module de la différentielle elliptique, Aonl —~ csl une transformée rationnelle.

Si Ton veul que Téqualion diflerenlielle correspondante, dont le degré apparent est ip -\- 2, s'abaisse au degré y, il faut introduire, comme plus haut, les notions de solutions remarquables et de constantes remarquables^ d'où des relations, qu'on peut écrire sous la forme transcendante (*)

(7) Cp=J(yp,.r),

oii^p est une fonclion algébrique des p -^ 2 fonctions précédentes.

Ces relations sont en nombre 2/> -f- 2 — q pour la solution la plus générale.

On trouve ainsi i -+- f\ fonctions arbitraires et 2/? -4- 2 — q constantes arbitraires, en fonclion desquelles les coefficients s'expriment algébriquement.

Nous conservons aux relations (^) leur forme transcendante, nous v ajoutons

les conditions transcendantes, exprimant que l'intégrale / —==- n'a que deux

périodes, qui sont des constantes absolues, et nous montrons que Pcnsemble de ces deux séries de relations transcendantes est compatible et déterminé (* ).

Il y a donc / -|- i fonctions arbitraires, et, comme, d'autre part, les relations peuvent recevoir une forme algébrique ^ on en conclut que les coefficients dépendent algébriquement de i+4 fonctions t//V>/7/*^//-e.î convenablement choisies.

10. Observons, dans ce dernier cas, que, si l'on met Tinlégrale générale sous la forme

il n'j a pas de lieux de points de rebroussement (j=-o) et ai , pi , y^ sont de degré 2/1 en y.

Inversement, si une relation (4/ de degré in définit l'intégrale d'une équation différentielle (3) de degré q en y, cette intégrale acquiert in valeurs autour des points critiques mobiles; les coefficients de (3) dépendent de i-^-^ fonctions arbitraires et de .\n -\- ip — q — i constantes arbitraires, et le genre rs est nul. ^lais, comme dans le cas de ro = i , les constantes arbitraires sont au nombre de '>.p -1-2 — <7, il faut en conclure que, dans le cas de gj = i , les .\ n -h 2/? -\- '2 — q constantes remarquables, ou bien ne donnent pas lieu chacune à une seule solulion double, ou bien sont liées par ^n — \ relations algébriques.

C^) Ces relations pourraient, d'ailleurs, être ramenées à des formes algébriques.

(') Les autres objections, que l'on peut faire au raisonnement^ font également ici l'objet d'une discussion complète, mais rapide, analogue à celle que nous développons à propos des équations de genre w = q.

FORMATION EXÇLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 1 I

Nous montrons qu'il exisle alors quatre constantes remarquables telles, que" le premier membre de (4/ devenant un carré parfait, elles donnent lieu respectivement à un abaissement de degré n.

Ces quatre constantes ne sont autres, d'ailleurs, que les quatre racines du radical, qui engendre la différentielle elliptique dont il a été question un peu plus haut.

11. Kn définitive, nous obtenons le théorème fondamental suivant :

Théorème. — Les entiers q et n étant donnés (/\^q"^ ^n), appelons /, y, /r trois entiers positifs satisfaisant à la condition

2i -hj -\- k=z2q — 4, et aux inégalités

A chacun de ces systèmes d^ entiers t, y, Â, correspondent une infinité d^ équations (3), dont V intégrale acquiert exactement n valeurs autour des points critiques mobiles. Ces équations, qui forment deux classes distinctes^ suivant que le genre m de la relation entre les constantes intégrales est égal à ZÉRO ou à i:w, dépendent algébriquement de i-{- ^ fonctions arbitraires et de constantes arbitr vires, dont le nombre est p./i + A* — q — 3 ou A — 7 ( ' )> selon qiCon se trouve dans Cun ou Vautre de ces deux cas.

Le théorème n'est en défaut que si l'entier q étant égal k 4, on a A' = 4, ou A-= 2,y = o. Dans ces deux cas exceptionnels^ l'équation (3) correspondante a toujours ses points critiques fixes,

12. Un problème intéressant consiste à former les équations différentielles de Tespèce précédente, dont les coefficients appartiennent à une classe donnée de fonctions; nous avons là encore un genre de questions, où le nombre des constantes remarquables joue un rôle des plus importants.

Voici les deux principales questions, que nous résolvons, et qui se rattachent à cet ordre d'idées.

I. Former les équations (3) à coefficients algébriques, de degré q donné eny^ dont V intégrale générale prend un nombre donné n de valeurs autoiir des points critiques mobiles.

II. Former les équations (3) à coefficients algébriques de degré q donné,

(*) Les deu\ nombres 2/1 4- A — q et k — q doivent être remplacés par zéro] s'ils'sont négatifs.

dont Vintégrale est une fonction traivscemdante qui ne prend qu'un nombre Jini (jiON donné) {*) de valeurs autour des points critiques mobiles,

13, Les principes utilisés précëdemnienl et les méthodes correspondantes s'appliquent à Tétude beaucoup plus compliquée des équations du second degré en y et de degré q cny

ajant pour intégrale générale

où a', p\ y sont des expressions de la forme

i^(^)[y - ^i('^)]Hy - s'ti^)?''' • -[y - gm(^)]W

A|,X2i •••} ^'m étant des constantes numériques quelconques données, et pour lesquelles nous établissons une formule (a)', qui peut être considérée comme une généralisation de la formule (a) du n° 7.

Nous n'avons pas encore résolu complètement la question, qui consiste à former explicitement les équations (3) de degré 7, dont l'intégrale générale est de la forme (8), mais les quelques développements que nous consacrons à ce problème suffiront à montrer comment les méthodes précitées permettent de le traiter complètement.

Pour terminer, nous consacrons quelques lignes aux équations (3) qui admettent un /acteur intégrant algébuiqik et nous établissons, là encore, une formule (a)", analogue à la formule (a) du n** 7, permettant de traiter le problème de la formation explicite de ces équations.

14. Je rappelle aussi les nombreuses applications développées dans le corps de ce Mémoire.

Tout d'abord, comme je l'ai déjà signalé plus haut, je forme explicitement loulcs les équalions du premier degré en y^ qui correspondent aux valeurs 3, 4? 5, 6, j, 8 de l'entier q cl aux valeurs 'à, 3, 4 de Tentier /i.

J*insiste longuement sur certains exemples particuliers, afin de bien montrer le but poursuivi en introduisant la méthode en (piestion.

Je forme ensuite toutes les équalions du second degré en y^ dont l'intégrale

(*) Ce nombre est toujours supposé le même pour toutes les intégrales, sauf pour des intégrales exceptionnelles.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. I 3

n'acquiert que deux branches autour des points critiques mobiles et pour lesquelles l'entier^ prend les valeurs 4, 5, 6, 7 et 8.

Enfin, je forme les types les plus intéressants d'équations du second degré en y ^ dont Yintégrale générale acquiert trois valeurs autour des points critiques mobiles (*).