y-gn) 2 (A»— H) 2v/H(A»~H

Mise sous forme entière, elle est de degré 47> 4- 2/1 -i-4.

Pour qu'elle s'abaisse au degré <7, il faut que 4/? H- 2/? -h 4 — 7 racines de IVqualion

\i ày ày

ày dy

Lj— ^1

soient intégrales de (i), c'est-à-dire vérifient les relations

<'P= (7p— gi?'*" -(Jp — /^^t)^- [A(7p, .T)-{-\/n(yp,œ)\~ F(yp, x),

y^ (x), y-ii^c)^ . . . , étant des racines de (E). On a, par suite, la relation

la somme S étant étendue à toutes les solutions remarquables de multiplicité a^.. De plus, en désignant par^, (^),^2('^)î • • • >7'4/>+2//(^) les 4/? 4- 2/? racines de (E), on peut écrire l'identité

Al An

, âA 2A-T- -

ày

dH-

ày

ày ày

L/ — é'i y — gn

(|ui permet d'obtenir w relations résolues par rapport aux constantes Aj; >^2, •••? A,/-

FORMATION EXPLICITE DES ÉQIIATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 91

On Iroiive, par exemple :

^ ^ •'~rA'(^„^)-H(^,,^)](é'/-Â',)...U^-^%]V 4

Si, de plus, on écrit qu'il y a 4/^ -^2/1 — q solutions remarquables, il en résulte .^p -{- 'in — q relations de la forme

En général, ces relations sont compatibles el déterminées, si les conslantes Cy sont quelconques et si les constantes numériques donnéks Xj, ).2} •••' ^w ne vérifient pas certaines conditions exceptionnelles ; et, par suite, elles définissent les coefficienls de Péquation différentiel le en fonction-connue de

n^Zp-\-o^=iq— p-\-\ — nz:^i-{-t\ fonctions arbitraires.

lil. — Equations dippérentiellrs possédant un facteur intêgram