Supposons que l'équation dilTérentielle
Ly'* — 2 M j 4- N = o
possède un multiplicateur algébrique à un nombre quelconque de branches, et soient M^ et Mj deux quelconques d'entre elles.
Si le quotient ^ n'est pas une constante absolue, Yintégrale générale acquiert un nombre fini de valeurs autour des points critiques mobiles. C'est un cas déjà étudié précédemment.
Sinon, le quotient ^ est une constante absolue et, par suite, une racine entière de Y unité. Le multiplicateur algébrique est donc de la forme
où P est rationnel en j^', y el n un nombre entier positif. Bornons-nous ici au cas de /i= i.
Posons
\>>JV\
où B et D sont de degré S en j^, R de degré 2/? 4- 2 et A de degré -h /? H- i •
Ç)'-*' A. CAIIEN
Ecrivons que Xq-i^ périodes de Tinlégrale
A-hBv/K ^
av
$oDl des constantes.
Comme il y a 20 -h i périodes polaires distinctes et 2/> périodes cycliques y nous obtenons 2/? -f- 204-1 relations transcendantes (T), résolues par rapport à des constantes arbitraires.
D'autre part, si l'on désigne par M(j^, x) la fonction Ae y et de x^ telle que
/ j^r- dy ^M{yjx)dx\
soit une intégrale de différentielle totale exa:te, l'expression
est algébrique^ puisqu'elle n'a plus de périodes.
M est donc déterminé en fonction algébrique des coefficienls ^{x)^ ^(•^)' jjl(j:), ... de a, B, R, D, ces coefficients étant liés par les relations transcendantes (ï).
On voit immédiatement que les S -|-/? quantités
^py Pi> P2> • • • 9 p8
sont des constantes, et que, de plus, tOi, Wo, ...,^03 désignant de nouvelles co/i stantes, on a
[X, =Wiv/R(^i), fx, = 0)2 v/B(?7), ..., [i.i—^i\Jl\{gi), La quantité M étant de la forme
7^ HA{x),
A(jr) étant une fonction arbitraire de a*, l'intégrale générale s'écrit
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. ()3
a, ^ clanl de degrés o -h/? -|- 3 el o -f- a: et ré(|ualion diflereiilielle correspondante est
( A H- B y/R ) 7' 4- a 4- (3 v^R -h >. I) v^îl — o ou
(A/ 4- a)* - R( Bj' 4- ? -h >.!))* = o.
Le degré
^, in2(î-f-2/;-i-6
de cetle équation s^abaissera, si les deux polynômes en y
A»-B«R el a« — 0-^XI))-R
ont des facteurs communs : ces facteurs communs, annulant, en général, les coeflicients de dy et dx dans la différentielle totale (4), sont intégrales remarquables. On aura, en définitive, la formule
en désignant par a^ le degré de multiplicité de la racine y^ de A-^ — B^R, dans
l'égalité
Cette formule (a) permet inversement de former explicitement les équations de degré q donné disani un multiplicateur rationnel eny, \/R et de degré S eny.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le i3 mai 1899, Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,
