Etant donnée une équation difTérentieile
où B et A sont deux polynômes en y premiers entre eux pour x quelconque, le premier de degré q (^), le second de degré q — 2, si l'intégrale générale ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, on peut la mettre sous la forme
La relation (2) définit, par hypothèse, une fonction j^(j?), qui, pour une valeur quelconque donnée à la constante C, a n valeurs distinctes. L'équation de degré n
en y
ne sera réductible que pour certaines valeurs exceptionnelles de G, et, en particulier, pour les valeurs C-=C/., dites valeurs remarquables, de la constante pour lesquelles l'équation (li) admet, quel que soit x^ des racines multiples y = g{x)^ dites solutions remarquables, et dont les ordres de multiplicité sont liés au degré q de Téquation par la relation (')
q =: in — ^^(a^— i) ■+■ {b^— i) -h ... 4- (e,. — 1).
(*) Les principaux résultats contenus dans ce Travail ont été résumés dans une Note présentée à rAcadémie des Sciences (séance du 26 décembre 1898).
(*) D'une façon plus générale, si pi et q\ sont les degrés de B et A, q est le plus grand des deu\ nombres />]| qx-\-i,
(') P. Painlkvk, Leçons de Stockholniy p. 146.
î.\ A. CAHEN.
2. Inversement pour que Téqualion (a) définisse l'intégrale générale d'une équation (i) de degré gr, il faut et il suffit qu'il existe p solutions remarquables .1^'«(-^)> J'3('^)» • • •» >'p(-^) ^^ multiplicités «i, «2, . • -, ^p, telles qu'on ait
Soit donc l'intégrale générale
^ OL ;"4-a«,j'»-*-H. . .-+-«0
Si nous exprimons que jv= Sr{^) est une racine- d'ordre ar — i de l'équation
et, de plus, qu'elle rend constant le rapport ~,
nous formons ûr conditions algébriques portant sur les 2/j-hi coejflcients de a, p. Si l'on élimine gr{^) entre ces conditions, on obtient ar — i conditions algébriques entre les coefficients a/, py et la constante C^.
En opérant ainsi pour chaque solution remarquable, on obtient
(flr, — i)-h(aj— i) H-. . .-h (^,,— i) = 2/j —q
conditions algébriques (S). Si toutes ces conditions sont compatibles, l'équation (a) dépendra algébriquement de ^ -h i fonctions arbitraires et d'an nombre de constantes arbitraires égal au nombre des solutions remarquables; ce nombre sera maximum et égal à in — q^ si toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
On peut donc dire que la solution ]a plus générale dépend de ^ -h i fonctions arbitraires (nombre indépendant du nombre n des branches de l'intégrale générale) et de 'in — q constantes arbitraires.
il. — COUPATIBILITÉ DES RELATIONS (S).
3. Les conclusions précédentes ne sont rigoureusement exactes que si les conditions (S) sont compatibles et déterminées.
Nous allons démontrer directement que, au moins pour la solution la plus
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. l5
générale (*), c'esl-à-dire pour laquelle toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux, il y a bien compatibilité.
En effet, dans ce cas, les 2/i — q conditions sont de la forme
on j^i (d;),^'2(a:), - . . ,^'2«-7(^) sont des fonctions algébriques des cooflicienis inconnus a/, ^y de a, p.
Les constantes C|, Co, ..., C2«y étant entièrement arbitraires, le système (S), qui contient algébriquement les fonctions a/, ^y, sera résoluble par rapport à si/i — ^r d'entre elles, à moins qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, ne soit identiquement fonctiqn des autres.
Supposons qu'il en soit ainsi, et exprimons que toutes les autres racines de D, soit
sont des intégrales de (i), d'où le système
çi ^\yin-q\^\y '^)
p{ytn—q^U ^)
< "-'~?{ytn-u-r)
Pour des valeurs arbitraires données aux a/i — u constantes C, C, a fortiori, les 2/i — 2 seconds membres de (S) et (S') ne sont pas distincts, et, par suite, l'équation (i)' correspondant à ces 2/i — 2 valeurs remarquables de la constante dépend au moins de quatre fonctions arbitraires; mais c'est une équation de Iliccati; or, l'intégrale générale d'une équation de Riccati dépendant au plus de trois fonctions arbitraires, il y a contradiction et, par suite, les équations (S) sont bien résolubles par rapport à 2/1 — q des fonctions a/, ,3y.
( * ) Cf. P. Painlevk, Leçons de Stockholm, p. i )9-. — Annales de la Facidté des Sciences de Toulouse, loc, cit.
i6 A. CAHEN.
Il résulle de là qif en faisant abstraction de certaines valeurs exceptionnelles des constantes c, les conditions (S) définissent 2/1 — q des 2/1-f-i fonctions a/, py ALGÉBRIQUEMENT à V aidc dc q -\- \ d^ entre elles et de vtn — q constantes arbitraires.
