III. — Emploi db la transformation homograpuique

i. On peut remarquer que, si l'on effectue sur j^ une transformation homographique^ dont les coefficients sont des fonctions de x et sur jî le changement de fonction ^ = o(X), les équations (1) et (2) gardent leuryb/vneet leur degré; donc, à toute solution de la question, pour un système de valeurs données de n^ q^ en correspondent une infinité dépendant de quatre fonctions arbitraires.

Or, nous venons de voir que la solution la plus générale dépendait de y -H 1 fonctions arbitraires.

Si q est plus grand que 2, nous avons bien un minimum de quatre fonction:» arbitraires; mais si q=i 2, c'est-à-dire si nous sommes en présence d'une équation de Riccati, il semble qu'il y ait contradiction, puisqu'en réalité nous ne disposons plus que de trois fonctions arbitraires. Cela tient à ce que l'équation de Riccati admet une transformation en elle-même de la forme

dépendant d'une fonction arbitraire.

En effet, on peut toujours ramener cette équation à la forme j^'= o, au moven d'une transformation homographique et, sous cette dernière forme, on voit que l'équation ne change pas quand on remplace x par cp(X).

Inversement, si une équation (i) admet une transformation en elle-même dépendant d'une fonction arbitraire, c'est une équation de Riccati.

5. Enfin, on peut se servir de la transformation homographique, suivie du changement de variable, pour ramener l'équation (i) à des formes canoniques intéressantes ('), et alors les équations (1) répondant à la question ne dépendront que de (q -{- i) — 4= ? — 3 fonctions arbitraires; par exemple, on peut supposer que B est seulement de degré q — 3 et que j*' est de la forme

, r'y-»-hfl^y,tvy-*-f-...-4- <7o On peut choisir comme fonctions arbitraires les coefficients 607 ^«j • • .? &«!

(1) Voir P. Painlevk, Annales de l École Normale, p. 2i-3o et 101-104 ; 1B92.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 17

du dénominateur, qui dépendent algébriquement des coefficients ay, ^y et non de leurs dérivées; il reste alors quatre fonctions arbitraires, lesquelles ne subsistent plus, d'ailleurs, si Ton assujettit le degré du numérateur à être égal k q — 3, le coefficient de y^'^ étant égal à un. Alors les coefficients a©, «n . . ., a^4 s'exprimeront algébriquement à l'aide des coefficients b et de leurs dérivées premières.