IV. — NOMBRB DE BRANCHES DE L'iNTÊâRALB

6. 11 resterait à démontrer que, si Ton adopte la solution la plus générale des équations (S), le degré q ne s'abaisse pas nécessairement, c'est-à-dire que les équations (S) n'entraînent pas comme conséquence que d'autres racines^ = g{x) de D= o soient des solutions remarquables; car, s'il en était ainsi, une des équa-. tions (S') serait conséquence des équations (S), ce qui est impossible, comme nous l'avons vu plus haut.

7. Enfin, montrons que la fonction y(j:) ainsi définie a bien n branches et non pas un nombre moindre, du moment que q est plus grand que deux.

En effet, supposons que l'intégrale générale ne prenne qu'un nombre v de valeurs (v < n). Elle est alors réductible à la forme

où p^ et ai sont des polynômes en y de degré v.

C = ^^ ■ — - est alors une fonction rationnelle de O

Si Cg est une racine multiple de l'égalité (7), et il j en aura toujours au moins une, du moment que v >• i, et Go la valeur correspondante de G, l'égalité

=P=Ki!)

admet des solutions y:=g(x) multiples, et pour qu'elles soient seulement doubles, il faut que C'^ soit racine double de l'égalité

Co=R(C'), et que, de plus, l'équation

ait ses racines en y simples.

Or, du moment que v>>i, cette dernière équation à plusieurs solutions

l8 A. CAHEN.

y = g(^x), y = h{x), ... correspondant à la même valeur Cq deC; et, comme ce sont des solutions remarquables, les valeurs de la constante qui leur correspondent n'auraient pas été prises arbitrairement, puisqu'elles sont toutes égales à Cq. Il est donc impossible que, pour la solution (2) la plus générale, le nombre des branches soit inférieur à n.

Le raisonnement n! est en défaut que si v est égal à un, mais on sait que Inéquation (i) correspondante est une équation de Riccati, par suite ^r := 2.

Donc, si l'on suppose q> 'i^ n est bien le nombre de branches permutables de^(:r).

Je n'examinerai pas davantage la discussion ni les applications aux équations à coefficients algébriques, pas plus que d'autres questions intéressantes, me bornant à renvoyer au Mémoire de M. Painlevé (*), où tous ces problèmes sont traités avec les développements qu'ils comportent.