II.(A,B,y) = o

liemarque I. — Si l'on écrit que (lo)' se réduit au degré trois, en exprimant

2(BA'-AB')-3B' , ■ A A- . u.- .

que y(= — ^ ij-T-T -^, est une racine du dénominateur, on obtient une

relation diflTcrentieile algébrique

3(3A-H2B-H4)[2(BA'-AB')-3B']»-+-2B(2AH-B-h3)(3A'-^2B')*

- (6A'-+- 9A H- 4AB -4- 2B) [2(AB'- BA') -h 3B'] (3A'-f- 2B') = o,

dont rintégrale générale est précisément mise sous la forme algébrique

Remarque II. — On peut exprimer les. coefGcients de Téquation différentielle (i4) en fonction rationnelle d'une fonction arbitraireT{x)^ de sa dérivée première et de la constante arbitraire y.

En effet, quand la condition

est satisfaite, les deux équations

47»-h3A7*4-2B/ — y(3A-h 2Bh-4) = o,

Aj'-h 2B7'— 3(3A -^ 2B -h 4)y/-H 4y(2A-^-B-^3)=:o

ont une racine commune T(x); on a alors les deux relations

A(3T*— 3yT-f-2y)4-B(2T — 2yTH-y)=— 4T'H-4yT — 3y, A(T»— 9yT -+- 8y) -h 2B(T»— 3yT 4- 2y) =z: i2y(T -- I),

qui, résolues en A et B, donnent A et Ben fonction rationnelle deT(a:) et de y.

'^J A. CAHKN.

fJr(|iialiou (liflcreiuiello dcvieiil alors

y(y^ i) ( 3A^j- aB )T

on l'on iloil rtMnpIacer A cl I^ par les valenrs précéthMiles, v{ V cl IV par lenrs (lé ri M'es.

(^r.xoLiKMK <;as : 7/ cj'tsfr cint/ solutions renia n/unh/es (loublrs, — iNous avons NU précédenunenl qne, clans le cas de quatre solutions doubles, l'équation correspondante (i/j) était du quatrième degré.

Pour (pi'elle s'abaisse au troisième degré, il faut et il suflit qu'il existe une nouvelle solution remarquable pour une valeur v, de la conslanle, autrement dit (|ue les deux é(piations

(|ui ne dillèrrnl des équations (i i) que par le cliangement de v en y,, aient également une rarine commune, d'où la relation

ll(A,B,l),-/,)r:=..

cpii^ J4)inl(! à la relation

n(A,B,D,/)=zo,

dciermine Bet D en fonction algébrique àa A et des deux constantes arbitraires'^'^ et *', . De plus, l'intégrale remarquable correspondant à yi a pour expression

ii-v;-v^ u; P(A,B,j),/^)

}A^)- y',^^:.__y^uy^ '-^ Q( A, B, I), y, )' el Téquation diflerentielle ainsi obtenue s'écrit :

où les coejfficients sont des fonctions algébriques de A et des deux constantes v et Yi, ou encore dt^s fonctions EM'iknEs des quantités A, B, D, y, yi liées par les deux relations H = o, 11'= o.

liemarque 7. — Les deux relations algébriques

n(A, B, D, /) = o, n(A, B, D, /,) rr o

donnent précisément rinlégrale des deux relations différentielles algébriques obtenues en écrivant que, dans l'équation (5)', le polynôme

2 Dy'H- . . . 4- 2 B(2 A -+- B — i) -T^ 3)

VOÎVMVVION KXPLICITK DES ÉQrATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIEU ORDRE, EH:. i!)

t'Sl divisible par

D' vM . . .4- 2(AB'- BA) -f- BD- i)H H- 3B .

/remarque If, — Les coefficients de IV'qnalion diflerenlielle (i^), c|iic Ton \ient de former, peuvent encore s'exprimer rationnellement à Taide de deux fonctions ®(^), T(.r) liées par une relation algébrique, de leurs dérivées premières ri des deux constantes arbitraires y et yi.

Kn eflel, en désignant par T(j:) et B(.r) les deux intégrales remarquables correspondant aux valeurs y et y, de la constante, A, B et D vérifient les relations

-97T)Ah-

-;5yT

il)-/(ï

-2Dy,(e

aD7,(e