A'-+-3AD~-9Ah-2B«— 2BD-h4B)7-H2B(-2A— B-+-n

= (/ — i)[2D7'-h(9A-h6B — 4D-4-AD4-i2)7»

-h (9 A -h 2B - 3 AD +6 A* 4- 4AB)y -+-2B(2A4-B — D-h 3)], d'où

/(y-r- y) {D>*-h (3 A' 4- 2B' -h AD - DA')y 4- 2( AB - BA ) 4- BD' - PB' 4- 3B 1 2D/»-H(9A-+-6B — 4D-+-AD4-i2)7«4-(9A4-2B— 3AD4-6A*-+-4AB)j-^:îB(2A4-B — D-f-3

FORMATION KXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 29

Deux.ièmr cas ; Il y a une solution remarquable triple et une solution double, — Soient v = 00 et j^ = o,

^^ -^ ~~ (4j«.-|-3A74-îB)(D/-hA-HB — D+ — D(7»-hAy*-t-B)

Troisième cas : Il y a une solution remarquable quadruple. — Soit y = oc pour C = 00,

(7) C=:A7*-HBy-f-D/*4-(r — A~B — D)y,

, w ,.. 7('-j)[AV-^(A^4-B07+A^4-B^4-Dq

^^^ -^ "" 4A^'-H3By'-f-2l)/-Hi — A— B — D

V. Équations de degré quatre. — Dans tous Jes exemples formés jusqu'à présent, le nombre de valeurs remarquables de la constante n'étant jamais supérieur à trois, on pouvait faire en sorte qu'aucune constante arbitraire ne figurât dans l'équation différentielle définitive. En effet, toutes les formes de Tinlé-

grale, se déduisant de l'une d'entre elles par le changement de C en -^r ^

(ai, ^,, Yi désignant des constantes numériques), on peut donner à trois i\v,i^ valeurs remarquables de la constante les valeurs o, 1 et 00.

Nous allons rencontrer maintenant des équations où une ou deux constantes arbitraires distinctes figureront algébriquement d'une façon essentielle.

Nous supposerons toujours qu'on a effectué sur^ une transformation homographique, telle que o, i,qo soient des intégrales correspondant aux valeurs o, i, 00 de la constante dMntégration.

Premier cas : Il y a une solution quadruple (so'ii y =^ oo) et une solution double (soit y = o) ; d'où

(8) c = Ak* + B/»4-(i-A-B)j^',

^^ -^ ~4A7*-H3By-+-2(i — A — B)

Deuxième cas : Il y a deux solutions triples. — Soient y = oo et ^=: o,

r.V J(y-0[B-y^AB--BA- + An

\^^ ^ ~3B/»-+-[4(A-Bh-i)-+-2AB]/4-3A(i — A-B)

Troisième cas : Il y a une solution triple et deux solutions doubles. —

3o A. CAIIEN.

Soient >• =.co, y = o, y ■= i , on obtient les formes suivantes :

^ ' (3A-H3B-+-4)y-(aA-+-B4-3)'

,,„w ,., • y(j-i)[(3A'+2B')^ + 3B'+a(AB'-BA')]

Uo> 7 — 3(3A+2B4-4)7* + (6A' + 9A + 4AB + aB)/+aB(aA-HB-+-3)'

Quatrième cas : Il y a quatre solutions doubles, — Soient j^ = o, ^' = i, y = 00 les trois premières solutions doubles, correspondant aux. valeurs C = o, C = I , G = 00 de la constante, T intégrale gén<$rale est de la forme (5).

Pour exprimer qu'il existe une solution remarquable double, pour la valeur C = Y de la constante, il faut écrire que les deux équations

( 4/'4-3A7'-f-2(B — Dy)7 — y(3A-haB — 2D-i-4)=o,

/ Aj' + 2(B — Dy)/»-3y(3A-H2B — aD4-4)/4-4(2A-hB~-D-t-3)y = o,

ou, ce qui revient au même, que les deux équations qui s'en déduisent

[3A«-h8(Dy— B)]y*4-[aA(B - Dy)4- i2y<3A -f- 2B - 2D -t-4)]y

— yA(3A-f-2B — 2D-H4) — i6(2A-hB — l)4-3) = o,

[16(2 A -^ B — D 4- 3) 4- Ay (3 A -H 2B — 2D 4- 4)]7« -f-[i2A(2A-hB -D-h3)-H2y(3A4-2B — 2D-H4)(B--Dy)]/

-h8(B— Dy)(2A-4-B — D4-3) — 3y«(3A-f-2B-2D-h4)- = o,

et que j écris

( Cj* -H Vj H- W = o, I U,y'4-V,7H-W,=ro,

aient une racine commune, d'où une relation algébrique

(i3) (UW, - WU,r- 4(UV, ~ VU,)( VW,- WV,) = H(A, B, D, y) = o,

qui permet d'exprimer D, par exemple, en fonction algébrique de A, B et de la

constante arbitraire y

L'intégrale remarquable a pour expression

■^•^^"~ U,W-UW, - Q(A,B,D,y)'

oîi P et Q sont deux polynômes en A, B, D et y! et A, B, D, y étant liés par la relation algébrique H = o.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 3l

Moyennant ces condi lions, le numérateur et le dénominateur de l'équation (5)' s'annulent pour y =yi (x) et Téquation différentielle se réduit à

r(y-0[D'P(A,B,D,y)jr-3B'0(A,B,D,y)]

2l)P(A,H,D,y)Q(A,B,D,y)/»-t-[9A4-6B— 4D-hAD-Hi2-h2l>P(A,B,D,y)lP(A,B,D,y)7— 2B(2A4-B-D-h3)

avec

Remarque L — Si l'oo exprimait directement qoe le numérateur et le dénominateur de l'expression (5)' ont un facteur commun différent de y et Ae.y — i, c'est-à-dire que les deux équation»

D'j' -H (3 A'4- 2B^-f- AD' - DA')7 + 2(AB' — BA) 4- BD' - DB -h 3 B'= o,

2Dy*-f- (9A -H 6B — 4D 4- AD + 12)^* -f-. . .4- 2B(2A -i- B — D -^ 3) =0

ont une racine commune, on obtiendrait

relation différentielle algébrique enire les coefficients A, B, D, dont la relation H = o donne l'intégrale, en exprimant D, par exemple, en fonction algébrique de A, de B el de la constante arbitraire y*

Remarque 11. — On peut pousser plus loin les calculs et exprimer les coefficients de l'équation différentielle (i4) en fonction rationnelle de deux fonctions arbitraires convenablement choisies, de leurs dérivées premières et de la constante arbitraire y. La relation

exprime, en effet, que les deux équations (12) ont une racine commune T. Prenons cette racine commune T comme fonction arbitraire, nous pouvons alors exprimer A et B en fonction rationnelle de D, T el y eh résolvant les équations (i 1) par rapport à A et B.

On obtient alors A et B sous la forme de deux fractions ayant pour dénominateur commun

3(T*-y)(T«-3yT+»)-(T-y)(T'-97Ï),

et pour numérateurs, la première

2Dy[(T-i)(T«-3yT-(-a)-(T-7)(T-i)(T-2)]

-4(T'-y)(T'-3yT + a)-.2(T-.)(ï-y),

la seconde

Dy[-(T-i)(T»-9yT) + 3(ï-i)(T-a)(T'-y)]

+ 2(T'-y)(T' - 9yT) + 36y (T - i)(T« - y),

etrëquation différentielie correspondante devient, après la suppression du facteur y — T qui figure au numérateur et au dénominateur de (5)',

, yi^y - i) [TD^y 4- 2(BA^ - AB^) -H PB — BD — 3B ]

^ "" 2DTy«-hT(2DT-t-9A-+-6B— 4DH-AD-M2)j^-jB(2A4-B-D-f-3)'

où A e/ B doivent être remplacés par les fonctions ratioa.n elles de D, T e/ ^ trouvées précédemment ; et A', B' par leurs dérivées.

VI. Équations de degré trois. — Il y a cinq cas à distinguer : Premier cas : // existe deux solutions triples et une solution double, — Soienl j> = o, y = oo, ^ = i ,

C y'(/-HA)

(3AH-4)j-(aA-h3)'

Deuxième cas : Il existe une solution quadruple et deux solutions doubles. — Soient ^ = 00, y = o,y=i,

Troisième cas : // existe une solution quadruple et une solution triple. —

Soient y z=cOy y =. o^

C=jMA74-i-A),

y - 4Aj4-3(i-A)^

Quatrième cas : Il existe une solution triple et trois solutions doubles. — Soient j^ = 00 la solution triple, ^ = 0,^=1 deux des solutions doubles. Nous parlons de la forme d'intégrale générale (10)

j»(7«+Ay^B)

Exprimons qu'il existe une nouvelle solution remarquable double pour la valeur C = Y de la constante. Gela reviendra, comme dans le § V, à exprimer que * deux équations du second degré

oui nue rnciiic commune, d'où une relation

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 33

permellant d'exprimer B en fonction algébrique de A et de la constante arbitraire y; l'intégrale remarquable correspondante sera la racine commune

aux deux équations précédentes, P| et Q^ étant des polynômes entiers en A, B, y; Téquation différenlielle (lo)' s^abaissera au degré trois par la suppression du facteur commun^ — y^ au numérateur et au dénominateur de^', et il restera

^ ' -^ ~3(3A-+-2B-+-4)Fi(A,B,y)/-3B(2A + B-H3)0,(A,B,y)

a vec