I. — ËTABLISSEMEXT d'uNE FORMULE FOND AMENTALE

une équation difTérentielle algébrique; le premier membre est un poljDome irré-

ductiblc du second degré en > ' el de degré donné en j-, dont les coefficienls sont des fonctions analytiques quelconques de x. Si q^^ q^^ q^ désignent les degrés en y des polynômes L, M, N, on peut toujours, moyennant une transformation homographique eflecUiée sur y et dont les coeffîcienls sont des fonctions de x^ admettre que L, M, N sont de degrés q — 4« <7 — 2 et 7 en ^, en désignant par q le plus grand des trois nombres <7i 4- 4» 72 4- 2 et q-^.

C'est ce nombre q que nous appellerons désormais le degré de l'équation différentielle.

Nous nous proposons de former explicitement toutes les équations {\) de DEGRÉ q DOKNÉ, dont l'intégrale générale ne prend quun nombre uokké n de valeurs autour des points critiques mobiles.

Il s'agit donc, daus les équations que Ton formera, d'exprimer algébriquement les coefficients des polynômes L, M,N à l'aide d'un certain nombre de constantes et Ac fonctions arbitraires de x (et de leurs dérivées).

2. Si l'intégrale y {x) acquiert exactement n valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire, dans le cas où le genre m de la relation entre les constantes intégrales est nul (*)

(2) aC*— 2;3C -+-•/=: o,

où a, ^, V sont des polynômes en y de degré /i. Différentions l'équation (2), il vient

L'élimination de C entre (2) et (3) conduit à une équation diflerenticlle de degré \n^

que l'on peut écrire sous les deux formes suivantes :

( 1 ) Si le genre xs de la relation entre les constantes intégrales est égal à u/i, %, ^, f sont de degré 2/1. Le cas de gt > i ne peut pas se présenter ici. ( Voir Tlntroduction.)

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. i']

Ces deux dernières équations vont nous servir, l'une et l'autre, à établir rapidement une formule, qui n'est d'ailleurs qu*un cas particulier d'une formule beaucoup plus générale, de M. Painlevé (*), relative aux équations différentielles

de degrés quelconques en y, y.

3. Si l'équation différentielle (4) se réduit au degré q, c'est que les polynômes L|, Ml, N, contiennent un facteur commun H(j^, x) de degré ^n — q eny. Lc) racines de H jouent, d'ailleurs, un rôle important dans la théorie qui va suivre.

Posons

L,(v,a:)z=:L(7,^)H(7,^), M,=:MH, N, = NH.