M»-LN=:P»QR

l'équation R = o de degré k désignant les intégrales singulières et Q = o de degré y, le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales. Soit, de plus, i le degré de P; les nombres e, y. A* vérifient la relation

(8) 2g — l\ — 2i.-hj-h k.

Si l'on forme le discriminant p^ — ay, on a

(9) P«-«y=:n«Q»R, et le degré m de II est lié à /i,/, k par la relation

De l'égalité (8), on déduit

et la forme (3) de l'équation différentielle devient (n) n'0'|0[(.QR^-v3nR^+nQ^)/

rwn^'n 3iii><^Q iirv<>R"l'

+ .QR^ + 3nu^H-nQ^J

''[{p^'^y-iP^èm^-m-

(') Leçons de Stockholm, p. 169, égalité (9).

'i8 A. CAIÏF.N.

rt" (|ui inonlre que II- (^■* enlre en fadeur dans le premier niemhre de Téqualion ii) el, par suile, que l\(y,x) contient les racines /w //////) fev du fiiscriniinant [i- — ay (tu mrnic fiegré de muttipUcitr,

D'anlre j»arl, sur la forme (5), on vérifie que louie racine i' = i'(./') d'ordre /> do \'i) |)our i\ =r-. (1, (C, zrrz o par exemple) est racine d'ordre p — i dans Téqualion 1 :V) quel que soit )'. Donc, {ouie solution rentan/ttaif/r ff'orc/rr /> fij^uro dans H( )', .r) au déparé /> — i .

InversenuMil loule racine i' =:;,'•(. r) de H = o vérifiant simultanément les trois relations

venin

c'est-à-dire, soit la relation

^[^•^(.r),./\C(.4r, .r)] = o, soit la suivante

Donc, toute racine r= g{'^') de [I est soit une racine du discrimina ni [î- — av, soit une solution (non singulière) de l'équation difTérentielle. Le deg;ré /\ n — q de \\{}\ x) est égal, par consécjuenl, à

et comme

on obtient la formilf. FONniMKNTAi.h

<7,, />,., . . . , tv étant les degrés de multiplicité des racines i* = gr{x) de V r^ o pour la valeur C, de la constante C, et la somme ^ s'étendant à toutes les solutions remarquables, qui sont nécessairement en nombre /?/i/.

Kous avons posé précédemment L, = LH, L, est le discriminant de V par rap-

port à r, c'est-à-dire le résultat de l'élimination de (> entre r = o, -r- --= o. On peut donc écrire

FORMATION EXPLICITE DES ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. !)()

et si Von désigne par a le degré du diviseur D2 de D|, telles que toutes les racines de Dj distinctes ou non soient sotulions de Tëquation diflTérenlielle, la sonnnc

est égale à A, cl 7 -. î, puisque

q^r^in -h / - /.,

/. j. .'1 n — /| - - '>. m — ctj