Passons, maintenant, aux deux dernières objections

Objection IV. — U équation différentielle (i) qui correspond à C équation (2) la plus générale, est-elle bien du second degré? autrement dit, Içs conditions (S) portant sur les fonctions "^^{x), ;JJ.(^*), • . • n'entraînent-elles pas comme conséquence que l'équation (i) en y' est carré parfait?

S'il en est ainsi, toutes les solutions j^ = A(^) de nQR=o sont des intégrales ordinaires, c'est-à-dire donnent à C(j', x) une valeur constante.

Si nous posons

la relation

(E) iy^/[h{x),x]^c?{x),

est une conséquence des relations (S), que nous récrivons sous la forme

^^in-q^k — /{yin-q-k-kj ^) =^ Jtn-q^ki'^)'

Ceci exige que le second membre de (E) ^(x) soit une fonction des seconds membres de (S)/, (x), /2(^), .. -, fm-q+k{oc).

46 A. CAHEX.

Téq nation a ses points critiques fixes, xs est égal ù un y et, par conséquent, le nombre v des branches Ae y{x) est égal à un, quel que soit /?.

Enfin, si y -4- k = 2, on a /> == o cl, par suite, ra = o.

On voit donc que, si on laisse de côlé le cas de <7 = 4>y ^=0» ^'=4> le genre m correspondant à r équation la plus générale est égal à zéro,

11. Je dis, maintenant, que la fonction y{x) déjinie par (2) prend bien, en général, n valeurs.

En eflel, si elle en prenait seulement un nombre v <; /î, on pourrait mettre rintégrale générale sous la forme

où a,, |3|, yi sont des polynômes en )' de degré v, ce qui est toujours possible puisque ro = o.

On sait que C est nécessairement une fonction rationnelle de C, C = V(C'). Soit d'abord v >> i , et C^ une racine multiple de Tégalilé

oTTC-^r(C'),

et C,- la valeur correspondante de C, qui existent toujours, puisque U'' n'est pas du premier degré. Comme les ordres de multiplicité des solutions remarquables sont égaux à deux, la multiplicité de C,'. est seulement égale à deux et les v solutions )' = gr{'^) correspondant à la valeur C^ dans (.>/) sont distinctes.

Dans ces conditions, les valeurs de C^ correspondant aux y solutions remarquables y := g,.{x) de (2) seraient égales, ce qui est absurde, puisqu'on les a prises arbitrairement.

Le raisonnement nest en défaut que si v = i ; mais alors, si v = 1 , /? = rn et, comme rn = o, /> est nul \ j -f- k --= 2, il faut que y soit nul, /• r:^ :>. et q z= j\.

Inversement siy =z o, k = :>., q = /^^ ^/ est égal à un, quel que soit n,

12. Nous pouvons donc énoncer les résultats suivants : Laissons de côlé les deux cas

cas où Téqualion différentielle a toujours ses points critiques fixes.

Dans tous les autres cas, les conditions imposées aux coefficients de (2) pour des valeurs de n^ q données et les choix de /, y, A (ai^ec les restrictions indiquées) sont compatibles et déterminées et définissent une équation (2)

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 4?

dépendant de i-\- \ fonctions arbitraihes etdein-\-k — q=zin-\-rj — ^--'ài—j