III. — Position de la question
5. Arrivons maintenant au problème que nous nous sommes proposé au commencement de ce Chapitre.
On se donne le degré q de l'équation différentielle (i) et l'on suppose que cette équation est véritablement du second degré en y' . Choisissons un système quelconque d'entiers positifs «', y, k satisfaisant à la relation
2 <7 — 4 = 2/ -f-y 4- k avec les conditions
j -h k^2y 3y 4- A' £ 2 /i, k^q — in.
Je dis que, dans ces conditions, il y a une inPinité d'équations (1) correspondantes.
Kn effet, prenons arbitrairement quatre polynômes P, II, Q, R de degrés /i, m,
y, k Gv\ y, avec la condition
La différence
est un polynôme de degré a/i en y^ que je puis toujours décomposer en un produit de deux polynômes de degré /i, que j'appelle a et y. Les coefficients de ces derniers polynômes sont ainsi déterminés en fonction algébrique des m -hy -h Â' -f- /e 4- 2 coefficients arbitraires A(a;), [i.(^), ... de p. Il, Q, R.
Pour que l'équation (i) dont (2) définit l'intégrale générale soit de degré q, il faut et il suffit qu'il existe [x soXixùon^ remarquables y ^{x)^ y ^{x), . . '^y^{x) de multiplicités a, , «2, . . . , a^, telles que l'on ait
Exprimons que^^ = gr{^) est une intégrale remarquable d'ordre a,, autrement dit que j^ = gr{^) est une racine de D» = o d'ordre ar — i et que, de plus, c,- désignant une constante numérique, on a
vot\matio\ explicite des équations différentielles de premier ordre, etc. 4i
nous obtenons Or égaillés, qui, après l'élimination de j^v, donnent Heu à a, — i conditions algébriques dépendant de la constante C;..
Si maintenant je désigne par a^ — i» ^2 — i? • • •? ct\L — * un système d'entiers positifs (moindres que /?), dont la somme «, — \ -\- a^ — i -f- . . . -4- «pt — ' est égale à in -\- k — y, et si j'exprime qu'il existe a solutions remarquables
de multiplicités r/|, ^/o, . . ., ci^^ j'obtiens
«1 — I H- «2 — I -h . . . -h CTjjL — i izz 2 /^ -h A — q
conditions algébriques dépendant de constantes Cr, en nombre égal au nombre jjl des solutions remarquables.
Il reste donc
m -\- j -{- k -\- n -^ 2 — (2/i-4-A — q)izz q -\- 2 ~
fonctions arbitraires.
Pour £, y, k choisis, comme nous Tavons fait plus haut, le nombre des constantes Cr est maximum si tous les a^ sont égaux à 2 ; on a alors 2/1 h- A' — q constantes C;-, c'est-à-dire in-^-.q — 4 — 2/ — y. Siy =0, le nombre des constantes est égal à in -\- q — 4 — ^'î on peut dire que c'est la solution la plus générale.
Nous vo}'ons donc que, à chaque choix des entiers positifs /, y, k assujettis à la condition 2 i -\-j -{- k = iq — 4 (avec les restrictions indiquées) correspond un nombre fijvi de systèmes de conditions algébuiques entre les coefficients de r équation (2).
Chacun de ces systèmes définit une équation (2) rff?pe/irfa/i/ de i -\- /i fonctions arbitraires et d'un certain nombre de constantes arbitraires, égal au nombre des solutions remarquables. Ce nombre atteint son maximum 2 n -\-k — q quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
IV. — Résolution des objections que l'on peut faire a la théorie précédente.
6. Plusieurs objections peuvent être faites à la discussion précédente :
I® Les conditions imposées sont-elles compatibles et déterminées? 2° Quand elles sont remplies, n^ entraînent-elles pas un abaissement plus considérable du degiié q de Inéquation (1)?
3° Quand elles sont remplies, /'équation (2) est-elle iruéductiblk? 4" La relation (i) correspondante ne se réduit-elle pas au premier degrk? 5" Enfin, le nombre de branches de ^intégrale, permutables autour des C. 6
42 A. CAIIEX.
points criliques mobiles, est -il bien égal à ti et ne peut-il pas être i>féniKun à n?
Nous allons montrer que toutes ces objections sont en défaut dans le cas, c|uc Ton peut considérer comme le plus général, où toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
Nous traitons en même tem])s les trois premières objections portant sur Vincompatibilité, y abaissement de q et Y irréductibilité de IVquation (2),
7. Objections I, Il et 111. — Les conditions qui portent sur les m4-y4-A*-|-/i-|-2 fonctions arbitraires )^(j^), )^{j^), • • • peuvent s'écrire, si tous les ar sont égaux à deux^
Ct
a[r,(.r),^] P(.>'i. x) 4- V^^Mji, x) — a(.v,, X) '/(.y,, .r)
P (3(.K,„4.A-7^ .r) H- y/^M.rt/i-t-A -y> X) — Cf.Kytu^k-q^ X)y{Ytn-^k-q, x) ^ ^'in\-k-*i - ~ ~— 'y
les fonctions y^ = g\{x), >'o = ^'.j(x), ..., r-in+h-q^ gni^h-q{x) désignant '.in 4- Â' — q racines de D| = o.
Les seconds membres de (S) sont donc des fonctions algébriques connues des coefficients A(a'). \^{x)j ... de (rJ, II, Q, 11.
Tout d'abord les constantes Cr étant entièrement arbitraires, pour x = Xq les fonctions X(j:o)) [J^(^o)î ••• coefficients de j3, II, Q, R sont arbitraires, et, par suite, il en est de même des polvnomes
?(/, ^'-o)» II(J, ^0), 0(7,.''o), l^(j».^"o)-
On peut donc toujours supposer que pour x = Xq la relation
est irréductible et que, de plus (pour x = Xq), les polynômes 11, Q, R ont leurs racines en j^ simples et distinctes; par suite, pour x = Xnj D, a toutes ses racines simples.
Ceci posé, si les équations (S) ne sont pas compatibles et déterminées pour des valeurs des C^ arbitrairement choisies, c'est qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, est identiquement fonction des au très ;aLUiremeni
YO^M.VTION explicite des ÉOI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIEU ORDRE, ETC. \3
dit, que les 9.n -^ A — i premières racines de D| ne peuvent donner à la fonclion
des valeurs conslanles, sans qu'il en soit de même pour la racine suivante de D|, et, par suite, pour toutes les autres par raison de symélrie.
8. Nous allons voir que cette conclusion est impossible; nous allons démontrer en même temps qu'// est impossible que les relations (S), distinctes ou non, entraînent comme conséquence que dUiutres racines de D| = o, distinctes de celles qui figurent dans (S), rendent nécessairement constantes les valeurs correspondantes de C(j', x).
Admettons, en eflTet, que p équations (S) {^^'xn -\- k — q) entraînent comme conséquence qu'une racine suivante de D| el, par suite, toutes les autres soienl solutions ordinaires de Téquation (i). Dans ces conditions, le degré irréductible q\ de (i) est nécessairement égal à 4- Ceci n'est possible que si le radical v^QR que renferme y^ porte sur un polynôme du quatrième degré, c'està-dire si y 4- A =4 ; donc est égal soit à 2, soit à i .
Observons tout d'abord que, si Ventier q donné est égal à 4? ^" hicn p = 2/1 -h A" — 4î et alors, toutes les racines de D| sont épuisées dans ce système des p relations (S), ou bien p<C2/i-l-/\ — 4? et alors, siy-f-/»=:4î 'e système (S) laisse au moins cinq des fonctions X, a, » . . arbitraires; et siy-f-Â = 2, il laisse au moins six fonctions arbitraires.
Enfin, si 9 >> 4? les p équations (S) laissent au moins cinq fonctions arbitraires si y 4- A' r= 4 et six fonctions arbitraires si j H- A = 2.
Deux hypothèses sont alors possibles :
PaEMiiiRE HYPOTHÈSE. — IJ équatiou en y correspondant à (2) est bien du second degré en y ,
Dans cette hypothèse, si y -|- A* = 4, exprimons qu'une des racines
y — g,{x) de QR — o
rend constante la fonction C(j', x), autrement dit, est une solution ordinaire de (1), y — gs{^) doit figurer, comme Ton sait, en avant du radical dans Téquation (i) résolue en y'
/= M 4- y/ÔR .-^ M -f- [ r - gs{^)]\/y^{y,x).
Le radical étant du quatrième degré, ceci est impossible, à moins que l'équation (i) ne se réduise au premier degré.
Mais comme cette équation du premier degré est nécessairement une équation
4^1 A. CAHEX.
de Riccati et que, d'autre part, il reste au moins quatre fonctions arbitraires, il y a contradiction.
Si, maintenant, y -H k = ■>., il reste au moins six fonctions arbitraires; si nous disposons de deux de ces fonctions de façon que deux racines de QR = o soient solutions ordinaires de (i), c'est-à-dire donnent à C(y, x) une valeur constante, il reste quatre fonctions arbitraires. D'autre part, l'équation (i) en j^ ne peut rester du second degré, car dans l'équation résolue en j^', on aurait le facteur du second degré
en avant du radical, ce qui est impossible puisque q=z.\. Donc, l'équation se réduirait au premier degré, et serait, par suite, une équation de Riccati, ce qui est absurde, puisqu'elle dépendrait, dans le cas actuel, de quatre fonctions arbitraires.
Seconde hypothèse. — Le premier membre de Inéquation du second degré en y est carré parfait.
C'est, par suite, une équation de Riccati, puisque yi = i ; or nous aurions au moins cinq fonctions arbitraires, ce qui est absurde.
