V. — Nombre de constantes et de fonctions arbitraires

DOXT DÉPEND l'ÉQLATION DIFFÉRENTIELLE.

14. L'équation (2), nous venons de le voir, dépend de /-i-4 fonctions arbitraires et de 2 n -h A — q constantes arbitraires distinctes ; mais en sera-t-il de même pour l'équation (i)? Quel sera le nombre de fonctions et de constantes arbitraires dont dépendra cette équation?

Je dis que l'équation différentielle (f) dépendra de i -{- ^fonctions arbitraires et de l constantes arbitraires, l désignant le nombre 2/1 -f- A" — q — 3 si ce dernier nombre est positif et étant égal à zéro dans tous les autres cas. Il suffit, pour le démontrer, de nous appuyer sur la proposition suivante :

Quand V intégrale d'une équation (1) prend exactement n valeurs autour des points critiques mobiles, et que le genre xs de la relation entre les constantes intégrales est nul, on peut mettre l^ intégrale sous la forme (2) et

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toutes les formes (>.) s'obtiennent en effectuant sur C une transformation liomo graphique à coefficients constants.

On pourra donc se servir de celle Iransformalion de façon à donner à Irois des valeurs remarquables Cr de la conslanle des valeurs parllculières, soit o, i, x, el il restera seulement 7.n -\- k — q — 3 constantes arbitraires.

Si le nombre des valeurs remarquables de la constante est seulement égal à deux, on donnera à ces constantes les valeurs o et oc par exemple; si ce nombre est égal à un, on donnera à la constante correspondante la valeur 3c; enfin, s'il n'y a pas de constante remarquable, on ne fera rien.

D'autre part, les /-+- \ fonctions arbitraires et les / constantes arbitraires figureront bien dans (i) d^ une façon indépendante.

En effet, considérons une équation {'.i) où Ton ferait varier d'une certaine manière les /-h/j fonctions arbitraires et les / constantes arbitraires; s'il lui correspondait toujours la môme équation (i), on devrait, d'après la remarque précédente, passer d'une de ces formes {->.) à une aulre par une transformation homographique continue, puisque la forme (>.) varie d'une façon continue; ce qui est impossible, cette transformation devant conserver les valeurs o,-i, C3C.

15. Ucmarque 1. — Dans l'équation (i) les racines y = g{x) de L = o el les racines de QR = o sont données algébriquement à l'aide des fonctions indéterminées a(^), JJ^(-2*)> ^^^^ ^1^'^ '^^ dérivées figurent; par conséquent, on pourra, par exemple, prendre comme /-f-4 fonctions arbitraires, 1 + 4 ^^^ coefficients de L, Q, R, el les autres coefficients de (i) s'exprimeront algébriquement en fonction de ceux-là et de leurs dérivées.

Remarque II, — On pourra se servir de la transformation homographique pour abaisser, par exemple, au degré q — 3 le coefficient N de (i).