A DEUX BRANCHES

\ oici tout d'abord le Tableau des diverses circonstances qui peuvent se présenter dans celte élude (X désigne ici le nombre de solutions remarquables, A' le nombre d'intégrales singulières el j le degré en y de la courbe, lieu des points

5o A. CAIIRX.

2. Si Ton avait voulu mettre en évidence les quatre intégrales singulières, on aurait pu se servir de la transformation homographique et du changement X = 'f (X) de façon que ces intégrales fussent j^ = o, r = i , y = x>, y = jr, en posant

^ j ( j — ( >' - '^' ) ( 2 ? 1 ;iî — a 1 7î — y I a* )

avec les conditions

2 (3, Pj — a, y, — •/, 3Cj + (3* -h 2 .3o S* - - a* 7^ — y^ — a, 7, -h 2 ,3o (3, — a» 70 — 7, = o,

( 2 Pi p2 — «i 71 — 7i ^î ) ^* ^- • • • = <^ ;

mais il vaut mieux, pour ce qui va suivre, s'en tenir à l'équation (3).

3. Equations de deoré sept. — Si nous exprimons maintenant qu'il y a une intégrale remarquable j^ = 00, par exemple, pour C = qc, nous obtenons une équation diflcrentielle de degré sepi^ qu'on déduit de (i) en faisant a)=o; d'où

(2) Li/*-2M,/H-yO'-i)N,.^o,

L^, Ml, N, étant de degrés 3, 5 et 4 en 1'.

4. Équatioivs de degré six. — Pour ces équations, il y a deux intégrales remarquables, soient y = ce, y = o pour (^ = oc et C = u, par exemple; il suffît de poser, dans (2), y, = o ; d'où

-^(i3r/;-7.?;)y^-^-(;5i7;--y*;^;).>'*+(;So7;--7.?;)/]

ou bien encore

+ (y.i3.y + 2;3„7,) ((3;.r'+ ^\y + Pi )!/

>'(j-oi;3;((3,y;->,;3;).r'

5. Equations de degré cinq. — H J' a ici trois valeurs remarquables de la constante, soient C = 00, C = o, C = 1 avec y = oc, y = o, y = i , par exemple,

ÏORMMION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 5l

comme solutions remarquables correspondanles; d'où

a,= «i=yo = y, = o.

2(Pj-(-?>i+|3o) = n-yi,

L'équation difTérenlielle de degré cinq, que l'on obtient, s'écrit

+ (3;(7.(3'o-/,Po)| = o, où Ton doit remplacer Po P^^r P2 H ^ et j3| par vj — 2 p^*

6. Équations a points critiques fixks. — Il est impossible d'avoir un abaissement plus considérable, sans que l'équalion correspondante ait ses points critiques Jixes,

Pour vérifier celle remarque sur l'exemple que nous venons de former, exprimons que, pour la valeur C| de la constante, j'i = ^ m 1 H ^^ est une intégrale remarquable. L'expression

devient un carré parfait quand on y remplace C par C| ety par j^i. Posons

l'intégrale générale s'écrit alors

(3) C''— C[A.5yî-B«(j — i)«-f-i]-hA'j«=:o.

Ecrivons que, pour C == C|, l'équation admet la solution remarquable

Comme pour C = C| , le premier membre de (3) étant carré parfait, ji a également pour expression

52 A. CAHEX.

et, par suite, on obtient successivement

L'équation (3) peut donc s'écrire

[(i-C,)(C,-A')4-C(C,-i)]Ay

- 2C(C, - I) A=7 -f- C[(C, - A*) (C - I) 4- A*(C, - i)l = o ou

Aj =

C(A«— i)-hC,-A*

C'est une équation à points critiques fixes, àoni la relation entre les constantes intégrales, primitivement du genre zéro, s'écrit maintenant

C''=:=C(C-i)(C-CO.

Elle est donc devenue de genre ln (*), par suite de Texistence de quatre solutions remarquables.

L'équation difTérenlielle s'écrit, d'ailleurs,

-^ Vf)' — ns'rs.v' — v.Q"> \v— ' ^«>(y»Pô — ^o' /î) Ë»! — o

avec

IL — Il Y A DEUX INTÉGRALES SINGULIÈRES.

7. Equations de degré six. — Dans ces conditions, le degré maximum de l'équation difTérentielle est égal à six. C'est le cas où il n'y a pas de solution remarquable. Disposons des coefficients de la Iransformalion homographique, de façon que les deux intégrales singulières soient j' = o, j^ = oc, el que, dans p2__aY = n2R, II se réduise à l'unité.

L'intégrale générale

(*) Sur \c passage du genre zéro au genre un, voir les n*** li et 13 du Chapitre VI, (') Cl désigne, comme nous l'avons dit, une constante arbitraire.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 53

peut s'écrire actuellement

les coefficients pa, ^i, ^o? *2) ««> ^o sont liés par les relations, qui expriment que

est divisible par

Soit Y2j^^4- Y«^ + Yo le quotient, on calcule facilement les coefficients v.^, yi , yo

les a/, py étant liés par les deux relations

L^équation différentielle s'écrit alors

-f-(4?2p'o-+-2(3,(3';— 2a2y; — a,/, aaoV', — yi^'i)/

-+-2?il3;-yia'o~aiy;j/

où les Yo, Yo Y^ doivent être remplacés par les valeurs {i)y les a/, [3y étant liés par les relations (5).

8. Equations ue décria ci.nq. — Il suffit d'exprimer qu'il y a une solution remarquable pour C = X) par exemple; d'où a; =4^2 ^-^o- On vérifiera que le facteur aajj' -h ai figure dans le premier membre de l'équation différentielle formée précédemment. C'est là une vérification un peu longue, mais qui ne présente aucune difficulté. On supprimera ce facteur '^y.2j' -^- ^\j et Ton obtiendra l'équation de degré cinq demandée.

9. Equations a points critiques fixes. — Si nous exprimons que l'abaisse-

nienl est plus considérable, c'est-à-dire qu'il y a deux solutions remarquables, le degré de l'équation différentielle ainsi obtenu est égal à quatre. Mais, comme il y a deux intégrales singulières, sans lieux de points de r^broussement (y = t>), nous avons affaire à une équation à points critiques fixes. Vérifions qu'il en est bien ainsi.

Pour cela, écrivons l'intégrale générale sous la forme

C« 2( j3, r^+ P,r 4- (3oC -f- y,y«=^ o,

y = o, r = ^ élant les deux solutions remarquables pour C = o et C = oc. Soit (y — i)'** le carré parfait 11=* figurant dans le discriminant ^^ — ay. Si

est divisible par {y — i)*, on aura entre les a/, p/, y,- les relations

(;3.4-p,4-;3o)(2Po-+-(3,)-y,= o et, par suite,

Il en résulle que Tinlégrale générale

(:»--4i3,(^>«-M)^-{3,r]C-+-(?.p,+ ;3,)V*-^o qu'on peut écrire

[(2(3,+ |3,)'- 2^5] (J- >)'+ (2^.+ ;3,- C)-.-- O devient

v/{2(3,+ (3,)'-2(3, L'équalioii a donc bien ses points critiques Jixes.