III. — II. Y A L.NE SEULE INTEURALE SINGl'UÈRE

iO. Equatio>s de degré cinq. — Dans ces conditions, le degré de l'équation de différentielle esl au plus égal à cinq. Soient y = i r intégrale singulière, y=^<* le lieu des points de rebroussemcnt. Supposons, de plus^ que )'= oo soit solution ordinaire pour C = ac ; d'où a^ = o,

(a, V H- aj(?- îî((3,7»-h (3,7 H- (3o)C -h y, v' ^ lO' -+" ?o=^ o, l'intégrale générale prend alors la forme (où p^^» )

G - r'^Pij-'-!^o+rv6^(r"')

FOKMXTlOîî EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 55

les coefficients sont a,, a^, ^i, ^o sont liés par la relation

(6) ai(aoPi— |3oai)*— 2a;(ao(3, — (3oa,) — «5 = 0,

qui exprime que

(y'-+-piy + (3o)'-7'(7-0

est divisible par %xy -\- 7.q.

On déduit de là

et Téquation différentielle correspondante s'écrit

- 40' - 0(ai7'-+- «'ij -^ ^o) [(272-+- yi)'/ -+- /jj'-h /,/ -f- yil = o ou

- ^.(/i j' + /i/ -+- /o) -(^\y -H a'o) (2yî.r + yi )].>''

<>" Y21 Yo Y<> ^^^ ^^^ valeurs (7), et ao, a<, j3,, p^ sont liés par les relations (6).

Dans le cas actuel, nous pouvons exprimer les coefficients de Téquation différentielle, en fonction iiATiONjvELLE de Ito\s fonctions arbitraires A, B, T, et de leurs dérivées A' B', T'.

En effet, de la relation (6) on lire

Posons

il vient

aoz=:A, a, = A('P-i), {iJo=B, (3,= B(T*-i)4- ,^,

Il suffira de remplacer dans (8) les a, [îi, y pa^ ^^s valeurs que nous venons de calculer.

56 A. CAIIEN.

H. Équations de degré quatre. — Dans ce cas, y =zqo est une solution remarquable (soit |)OurC = Qo); d'où, en tenant compte des calculs précédents,

Téquation (8) devient

j"-4(/-i){2y-i)(îi/+4(>-i)[«',/,y + «'oy;-p;'] = o

ou bien, en remplaçant yo et ^i en fonction de ^, et a^,

+ /,(j-i)(^«. ^^ jK + «« ^^j P.j-0.

Ici les coefficients sont des fonctions rationnelles de ao, ^o ^^ ^^ leurs dérivées.