II. Soit une équation donnée

ALGÉBRIQUE cn y'^y^ x\ on sait {à Vaide d^un nombre fini d'opérations) reconnaître si Vintégrale générale est une fonction transcendante qui ne prend qu'un nombre fini (inconnu ) (*) de valeurs autour des points critiques mobiles, ou ramener Véquation aux quadratures.

G. Gela posé, considérons d'abord une équation du premier, degré en j^,

, ag{x)y^^a^.,{x)y^'' ^,..-^a,

et cherchons à déterminer explicitement toutes les équations de cette forme, de degré q donné en y, et dont l'intégrale générale acquiert un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles.

M. Painlevé a développé une discussion complète, relative à la compatibilité des conditions imposées aux coefficients ay, bk dans un Mémoire (^) consacré à Tétude plus générale des équations (2) dont Tintégrale générale est de la forme

où /|, i2) • • -1 i/( sont des constantes numériques données, et A, ^,, g2, . . ., ^a des fonctions inconnues de x.

Je reprends tout d'abord l'exposé de cette méthode, en lui faisant subir certaines modifications, et je l'applique à la formation explicite de tous les types

( * ) Ce nombre est le même pour toutes les intégrales, sauf pour certaines intégrales exceptionnelles, { *) Annales de la Faculté des Sciences de ToulousCf G. i-35; 1896.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7

d'éqiialions (2) de degrés 3, 4> 5, 6, 7, 8 en y dont Tinlégrale générale prend deux, trois ou quatre valeurs autour des points critiques mobiles (*).

Quant au passage des équations du premier degré au\ équations du second degré en y'^ la méthode montre bien encore que les conditions imposées aux coefficients de Téqualion (i) peuvent recevoir une forme algébrique, mais la question de compatibilité entre ces relations algébriques présente des difficultés nouvelles, où interviennent les intégrales singulières et les lieux des points de rebroussenients des intégrales.

Avant d'exposer en détail la méthode et la discussion à laquelle elle donne lieu, je voudrais, dans cette Introduction, en indiquer rapidemenl les principes.