Lorsque l'intégrale générale de Téquation

ne prend qa^un nombre fini n de valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire

(4) aC*-2(3C4-y = o,

où a, ^, Y sont des polynômes en y de degré n, si le genre gj de la relation entre les constantes intégrales (*) est nul et de degré 2/1, si ce genre est égal à un. Quant au cas de tîj >• i, il ne peut se présenter ici (').

(1) C'est pour moi une occasion de comparer les types ainsi obtenue à d'autres types, formés précédemment par M. Painlevé, à l'aide d'une première méthode développée dans les Annales de l'École Normale (1892). Cette méthode, qui donne lieu à des calculs assez simples, ne fournit pas explicitement \es équations (2), dès que le nombre de branches de l'intégrale est supérieur à troisj mais astreint les coefficients de (2) à certaines relations différentielles.

(<) Quand l'intégrale générale est de l'espèce indiquée, il existe une classe de courbes algébriques de même module, dont la courbe (3) en^', y {oix x est un paramètre quelconque) est une transformée rationnelle d'ordre /i, et dont le genre m est i\\i genre de la relation entre les constantes intégrales. On peut choisir deux intégrales premières rationnelles en {y', y) : C = R(^',^, t), c = r{y\y,x)^ telles que C et c vérifient la relation entre les constantes intégrales, et que toutes les autres intégrales premières rationnelles en y\yf soit y = piy'i yi^)i s'expriment rationnellement en C, c,

(') En effet, si tst > i, il existe au moins deux multiplicateurs algébriques de l'équation

différentielle — 7=^ et — ,!i. , dont le quotient 4, / — - , ecralé a une constante, définit

/QR /QK Hi(^,^)

l'intégrale générale, qui correspondrait alors à une équation différentielle du premier degré

en y'. Voir Paixlevé, Annales de l'Ecole Normale, p. 220 et suiv.; 1892.

8 A. CAIIEN*

Soit d^ abord le cas rfe m = o. Posons