ALGÉBRIQUE

H. Supposons que Féquation différentielle

Ly'* — 2 ^y 4- N == o

possède un multiplicateur algébrique à un nombre quelconque de branches, et soient M, et M2 deux quelconques d'entre elles.

Si le quotient -r-j^ n'est pas une constante absolue, Vintégrale générale acquiert un nombre fini de valeurs autour des points critiques mobiles. C'est un cas déjà étudié précédemment.

Sinon, le quotient ^ est une constante absolue et, par suite, une racine entière de Y unité. Le multiplicateur algébrique est donc de la forme

où P est rationnel en y\ y et n un nombre entier positif. Bornons-nous ici au cas de /i= i.

Posons

Dy/K

où B et D sont de degré S en^, R de degré 2/) + 2 et A de degré 8 -{-j) + i .

(y^ A. CAiiEX.

Kcrivons que \c> périodes de rintégralc

=— dy

:«opt des conslanles,

(domine il V a *>.o -4- i périodes polaires distinctes et ip périodes cycliques. nous obtenons ip -h i>.o 4- i relations transcendantes (T), résolues par rapport à des eonstantes arbitraires.

D'autre pari, si Ton désigne par M(^, x) la fonction ûe y et de a*, telle que

soit une intégrale de différentielle totale exa'^te, l'expression

est algébrique, puiscprelle n'a plus de périodes.

.M est donc déterminé en fonction algébrique des coefficients p(»/'), >*(*'*)' ;jl(./), ...de A, B, 11, D, ces coefficients étant liés par les relations transcendantes (T).

^- = /„(,f) + ),, (a;) K ^- . . . + Ip^, (.r) v"-' -+- '"'^•^^^ , +. . . + ^^^'^'^ , •

I) '" '"^'^ '• .K — 5'i('f) y — giU)

On voil iiniiiédiaicmcnt que les o +/) quanlilés

'•/>» pi» pî> • • • » pô

sont des constantes, et que, de plus, (0|, coo, ...,(05 désignant de nouvelles constantes, on a

I^a ([uantité M étant de la forme À(.r) élanl une funclion arbitraire de x, l'inlégrale générale s'écrit

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 9^

a, ^ étant de degrés 4-/>-l- 3 cl -|- 2 ; et l'éc|iiation difTérentielIc correspondante est

(A 4- B \/R)y -H a + (3 v/R -i- Àï) v^H = o

ou

Le degré

(7, HZ 2 4- 2 yy -h 6

de celle équation s^abaissera, si les deux polynômes en y

A*-BMl et a' -((3 -+->.!) )-U

ont des facteurs communs : ces facteurs communs, annulant, en général, les coefficients de e/y et clx dans la difTérentielle totale (4), sont intégrales remarquables. On aura, en définitive, la formule

en désignant par a^ le degré de multiplicité de la racine y^ de A- — B'-'R, dans Tégalité

Cç, = ¥(y,jr).

Celle formule (a) permet inversement de former explicitement les équations de degré q donné 'dy^nl un multiplicateur rationnel en y ^ yjR et de degré eny.

Vu et permis d* imprimer :

Paris. le i3 mai 1899, Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,