Y-gn A -h B v'TÎ

On peut toujours yérlfiev algébriquement si une telle équation admet un mu/tiplicateur algébrique de cette forme, où n et p sont donnés,

*S'/7 en existe au moins deux, leur quotient est une intégrale première d<* l'équation différentielle et, par suite, Fintégrale générale acquiert un nombre FI3II de valeurs autour des points critiques mobiles. C'est le cas que nous aNons étudié dans les Chapitres précédenls.

Pour se trouver dans le cas où l'intégrale générale est de la forme (.>.), n\t\\^

CJO A. CAIIEN.

.n'est pas réductible a la forme RATiONKELLE, il faul qu'il n'y ait quun seul miilliplicaleiir, et, par suite, toutes les formes (2) de rinlégrale s'obtiendront en remplaçant C par /C*, / et 6 désignant des constantes numériques.

8. Donnons seulement une idée rapide du problème actuel, qui se traite absolument de la même façon que les problèmes précédents. Supposons B^i pour simplifier les calculs.

IJéqualion différentielle correspondante est

^i ^'1 , ^y àv dy

>.iA^ >v/i^« \ . ' du- dx ôx ÔY

"T~ r7"i mn — H" — ;:::=: — O.

.•Ç'i " y-gnl '^.(A*— H) 2v/H(A*~H)

Mise sous forme entière, elle esl de degré 4/> -+- '^1^ -hi*

Pour qu'elfe s'abaisse au degré y, il faut que ^p-\-in-{-.\ — q racines de l'équalion

F n^ I ^'1 ^/i dy dy 1 ^ ôy^ dv^

^^\^y-^^.^"'^ y-^n'^ 2(A^^rîï7"J /jH(A*-H) -""'

soient intégrales de (1), c'est-à-dire vérifient les relations

^^'9— O'p— A"!.)^'- • -(/p — .-îT/O^" [A(yp, ./.' ) -H v^'ïlô^r^ I = F(yp, x),

(p=zl, 2, . . ,, 4/^+ 2// — /?),

y, (j-), ^>'2(»^*)' • • • ' ^*l^"l ^1^^ raciues de (E). On a, par suite, la relation

la somme 1' étant étendue à toutes les solutions remarquables de multiplicité ^z^. De plus, en désignant par^, (a:), jK2(-a:^), • • -^ y\p^2n{^) les 4/? -f- ^n racines (le (K), on peut écrire l'identité

>., , X,4 ' ^v ôy I dy dv

ôy dy I dy à

^. ^^ (■>' — .Kl ) (r — y» ) " • (y — y'.p^in )

-' (v~.zrt)^..(v-^'„)Ml(A^-H)*' qui permet d*ol)tenir/i relations résolues par rapport aux constantes /|, Aj, ..., A,/.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 9I

On trouve, par exemple :

Si, de plus, on écrit qu'il y a ^p-^'2n — q solutions remarquables, il en résulte \p -\- in — q relations de la forme

En général, ces relations sont compatibles qI déterminées, si les constantes Cy sont quelconques et si les constantes numériques donnéks X,, ).2, . . ., \t ne vérifient pas certaines conditions exceptionnelles ; et, par suite, elles définissent les coefficients de l'équation différentielle en fonction connue de

n-^Zp-\-o^=iq— p-\-\ — n^zzi-^lx fonctions arbitraires.

III. — Equations différentielles possédant un facteur intégrant