OU : { B
Le point générateur est toujours le centre du cercle de rayon B.
En résumé : la déroulée d'une conique quelconque est une ligne cycloïdale et l'une des déroulantes d'une ligne cycloïdale quelconque est toujours une conique. De plus à une conique quelconque correspond une seule ligne cycloïdale, et réciproquement, de sorte que l'on peut étudier toutes les formes dont les coniques sont susceptibles en les considérant comme dérivées du cercle par roulement.
V. Classification des coniques. On obtiendra toutes les formes de coniques en faisant varier les rayons des cercles : le cercle fixe B doit toujours être réel, mais le cercle mobile r peut être imaginaire.
On divisera donc les coniques en deux genres : le premier comprendra les coniques dont le cercle mobile est réel et l'on dira qu'elles appartiennent au genre ellipse ; le second genre comprendra les coniques dont le cercle mobile est imaginaire, on dira qu'elles appartiennent au genre hyperbole.
Lorsque les rayons B et r varient proportionnellement, les lignes cycloïdales restent semblables à elles-mêmes et par suite aussi les coniques dont elles sont la déroulée. Comme deux coniques semblables ont la même forme, on obtiendra toutes les formes dont les coniques sont susceptibles en laissant B constant et ne faisant varier que r.
Il y a donc trois cas à distinguer suivant que le rayon B est fini nul ou infini.
1 er cas : le rayon B du cercle fixe a une valeur donnée finie.
Il faut donner à r toutes les valeurs possibles de — »> à -f-
et toutes les valeurs imaginaires de la forme ( — -f pi
oc
p variant de — c*> à -f- :>D -
I ° Genre ellipse : r varie de — co à -f- oc . On a trouvé
plus haut pour valeur de r : r =-~ — — --
a étant le coefficient variable de l'équation de l'ellipse :
y 2 = — a V -f- 2Bx
Représentons par une courbe (fig. 13) la relation entre r et a ; cette courbe est une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont l'axe des r et une parallèle à l'axe des a
d'abcisse -^.
Or, il suffit, pour obtenir toutes les formes possibles d'ellipse de ne considérer qu'une des branches de l'hyperbole équilatère. En effet, si l'on considère deux points de cette courbe ayant des ordonnées a égales et de signe contraire
la demi-somme de leurs abcisses est égale à -^, c'est-àdire que si l'on désigne ces abcisses par r' et r" on a :
Or, d'après un théorème connu sur les lignes cycloïdales, lorsque deux cercles roulent sur un même cercle fixe et que la somme algébrique des rayons des cercles mobiles égale le rayon du cercle fixe, ces deux cercles mobiles engendrent la même ligne cycloïdale et par suite la même
ellipse.
II suffit donc de faire varier r de — oc à +~ô-
Pour r = — 3o ? le cercle mobile devient une droite
et l'épicycloïde est une développante de cercle : l'ellipse correspondante a reçu le nom de parabole.
Faisons maintenant croître r : tant que r est négatif, la ligne cycloïdale est une épicycloïde qui se trouve en dehors du cercle 12, comme dans la fig. (12) et Taxe des x coïncide avec le grand axe de l'ellipse.
Lorsque r = 0, l'épicycloïde se réduit au point A et
lorsque ce point roule sur l'axe des x } le centre du cercle
B décrit un cercle de même rayon ayant son centre au
point A.
Lorsque r croît de zéro à -„ , la ligne cycloïdale est
une hypocycloïde dont les boucles sont en dedans du cercle de rayon A (fig. 14) et par suite l'axe des x coïncide avec le petit axe de l'ellipse. Mais les ellipses de cette catégorie ne sont pas les mêmes que les précédentes, car on a supposé que le rayon B était constant et comme ce rayon est aussi le rayon de courbure de l'ellipse au point 0, on ne peut pas retrouver deux fois la même ellipse puisque les rayons de courbure correspondant à ses deux axes ne peuvent pas être égaux.
Enfin, lorsque r = -g, on sait que l'hypocycloïde se
réduit à une droite et par suite aucun roulement ne peut se produire. Mais en considérant ce cas comme cas limite,
on voit que lorsque r est très voisin de ^ l'hypocycloïde
a la forme ABC... (fig. 15) et lorsque les deux premières boucles AB et BG roulent sur Ox, le point décrit une ellipse E très petite dont le petit axe coïncide avec Ox. De
sorte que le cas où r = ^ correspond à une ellipse évanouissante.
En résumé lorsque r varie de — 30 à -f— ^ on a le résul-
tat suivant :
r = — - oc développante de cercle parabole
— 00 < r < épicycloïde ellipse allongée
r = point cercle
< r < -p hypocycloïde ellipse aplatie
r = -^ droite point
2° 6?ewe hyperbole : Le cercle mobile est imaginaire et
la valeur de son rayon est de la forme: -^ -{-pi? p
variant de — oc à 4- 30 .
On a trouvé plus haut : p = -p- , a étant le coefficient
variable de l'équation de l'hyperbole : y* = $V -f- 2Bx. Représentons encore par une courbe la relation entre p et a (fig. 16) cette courbe est toujours une hyperbole équilatère mais ses deux asymptotes coïncident avec les axes. Or il suffit de considérer seulement une des branches de l'hyperbole équilatère, car si l'on prend deux points sur cette courbe ayant des ordonnées a égales et de signe contraire, leurs abcisses p sont aussi égales et de signe contraire, de sorte que les rayons correspondants des cercles mobiles sont :
r ~2 + 9% T = ~2 ~ p et ces rayons satisfont à la relation :
r' -f 1» = R donc les deux cercles r et r" engendrent la même paracy-
cloïde. Ainsi le théorème sur la double génération des lignes cycloïdales subsiste pour les paracycloïdes et on peut l'énoncer de la manière suivante :
Lorsque deux cercles imaginaires roulent sur un même cercle réel et engendrent des paracycloïdes, ces paracycloïdes seront les mêmes si les rayons des cercles mobiles sont des imaginaires conjuguées.
Il suffit donc de faire varier p de zéro à -f- 3 °-
Mais il faut auparavant se rendre compte de la forme générale des paracycloïdes.
Les paracycloïdes ont, ainsi que les autres lignes cycloïdales un point de rebroussement au point A (fig. 17) ; Taxe des x est évidemment un axe de symétrie de la courbe de sorte que l'hyperbole engendrée par le point sera aussi symétrique par rapport au même axe.
Mais la paracycloïde n'a jamais qu'un seul point de rebroussement et son rayon vecteur croît continuellement à partir du point A de sorte qu'elle est analogue à la développante de cercle. Par suite l'hyperbole est une courbe à branches infinies comme la parabole.
En remplaçant les fonctions hyperboliques par les transcendantes ordinaires, l'équation de la paracycloïde devient :
x sin ç — y cos cp x cos cp + y sin cp
dans laquelle cp est l'angle que fait avec Ox la tangente à la paracycloïde. Or à mesure que l'angle cp augmente, c'est-à-dire que Ton s'éloigne du point de rebroussement
A, le terme e 2? tend vers zéro, de sorte que la paracycloïde se rapproche de plus en plus de la courbe :
\ x sm cp — y cos cp = pe 2 % x cos cp + y sm cp ™ -^ e^
Or ces équations peuvent être identifiées aux équations (7 bis) en posant :
p — mu [m = 7r
ou :
B = 2m* u lu= -Â-
Donc la paracycloïde a une asymptote curviligne et cette asymptote est une spirale logarithmique ayant son pôle à l'origine, c'est-à-dire au centre du cercle de rayon B.
Du reste, à cause de la symétrie relativement à Taxe des $, il faut dire pour être complet que la paracycloïde a deux asymptotes curvilignes qui sont des spirales logarithmiques symétriques par rapport à Taxe des x, et ayant même pôle.
Lorsque la paracycloïde roule sur la tangente au point de rebroussement, le centre du cercle iî, c'est-à-dire le pôle des spirales engendre l'hyperbole, et puisque ces spirales sont asymptotes à la paracycloïde, il arrivera un moment où on peut les considérer comme roulant elles» mêmes sur l'axe des x.
Mais on a vu que lorsque une spirale logarithmique roule sur une droite, son pôle décrit une droite, et comme il décrit aussi l'hyperbole, cette dernière doit se rapprocher de plus en plus d'une certaine droite située à distance
finie. L'hyperbole a donc deux asymptotes symétriques
par rapport à Taxe des x. D'ailleurs on se rappelle que m
était le coefficient angulaire de la droite décrite par le pôle
de la spirale, et comme m = 7r = -j on voit que les
asymptotes de l'hyperbole sont inclinées sur Ox d'un angle dont la tangente est égale au rapport des axes.
Faisons maintenant varier p de zéro à l'infini.
Pour p = le rayon du cercle mobile est réel et égal à
p-. On sait que dans ce cas la ligne cycloïdale est une
droite : dans le cas de l'ellipse, en donnant à r des valeurs
très voisines de — on a trouvé que l'ellipse se réduisait à
un point . Mais ici il faut faire tendre r vers — par des
valeurs imaginaires, de sorte que la limite n'est plus la même. Lorsque p est très petit, m est très grand et l'on a vu que dans ce cas la spirale logarithmique est rejetée à l'infini et que son pôle décrit l'axe des y. L'hyperbole évanouissante est donc une droite passant par le centre du cercle B et perpendiculaire au diamètre que décrit le point A du cercle mobile r.
Lorsque p croît continuellement de zéro à l'infini, m diminue de même donc aussi l'angle des asymptotes de l'hyperbole. On peut distinguer dans cette décroissance
deux périodes séparées par la valeur p = -^ pour laquelle m = 1 valeur qui correspond à une hyperbole équilatère, Donc pour les valeurs de p comprises entre zéro et -^ l'angle des asymptotes est obtus et pour les valeurs comprises entre -^ et l'infini, cet angle est aigu.
Enfin lorsque p = oo , r est aussi infini, la paracycloïde est une développante de cercle et la conique correspondante une parabole.
Ainsi en résumé, on a le tableau suivant :
p = r = -p droite droite
<K| paracycloïde h *J£™ e
__ JR R ( 1 , . paracycloïde hyperbole
Z 3 ~~ ^ r ~~ ir "^ équilatère équilatère
^ ^ ^ ™.™w^ hyperbole
< p < do paracycloïde
allongée
développante T ,
p = oo r = - de c ^ de parabole
On voit que le passage du genre ellipse au genre hyperbole se fait soit par la valeur r = =*> c'est-à-dire par la
parabole, soit par la valeur r = ^ , mais dans ce dernier
cas le passage n'est pas continu et Ton passe brusquement d'un point à une droite.
II e cas : Le rayon R du cercle fixe a une valeur mille. Lorsque R varie, r varie proportionnellement parce que l'expression de r contient R en facteur, de sorte que les lignes cycloïdales et par suite les coniques restent semblables à elles-mêmes. Le cas où R = n'est donc pas un cas distinct mais simplement un cas limite et les coniques qui correspondent à ce cas sont simplement les formes limites que l'on obtient lorsque les coniques étudiées précédemment se déforment en restant semblables à ellesmêmes.
Dans le genre ellipse, lorsque R = 0, r = ; la ligne cycloïdale se réduit à un point qui coïncide avec le centre
du cercle B ; l'ellipse correspondante est aussi un point Dans le cas de la parabole,, lorsque B = 0, r est indéterminé car dan.s ce cas r = B X ^ = X =*> . On a donc un cercle qui roule sur un point ; la ligne cycloïdale est toujours un point qui coïncide avec le centre du cercle B. En considérant ce cas comme cas limite, on trouve que la parabole correspondante est une droite qui coïncide avec l'axe des x.
Dans le genre hyperbole, lorsque B = 0, r = et
p = 0; mais m =-„- a une valeur indéterminée.
Les spirales logarithmiques asymptotes ont toujours leurpôle au centre du cercle J3, et comme celui-ci se réduit à un point, la paracycloïde se confond avec les deux spirales; l'hyperbole dégénère alors en deux droites passant par le pôle commun des spirales ; du reste l'angle des deux droites peut prendre une valeur quelconque, puisque cet angle dépend de m qui est indéterminé.
III e cas : Le rayon B du cercle fixe est infini. L'origine centre du cercle B est toujours le point générateur de la conique, mais la circonférence cle ce cercle est à l'infini ainsi que la ligne cycloïdale, de sorte que l'origine décrit toujours l'axe des y, c'est-à-dire que la conique est toujours une droite.
Il est à remarquer que lorsque B est infini, r est en général infini, de sorte que les deux cercles sont des droites et la ligne cycloïdale est simplement un point à l'infini ;
maisr=-p — — de sorte que lorsque a = — i, B
étant infini, r a une valeur finie quelconque et la ligne cycloïdale correspondante est une cycloïde Cette cycloïde est à l'infini.
Donc en considérant toutes les formes possibles de coniques, nous avons rencontré toutes les espèces de lignes cycloïdales et l'on peut dire maintenant :
Que la déroulée d'une conique quelconque est une ligne cycloïdale, et réciproquement que toute ligne cycloïdale est la déroulée d'une conique et d'une seule ou si Ton veut : Parmi les déroulantes d'une ligne cycloïdale quelconque se trouve toujours une conique.
